Как можно решить тригонометрическое уравнение 4sin^2 + 13sinxcosx + 3cos^2x = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения тригонометрическое уравнение решение уравнения алгебра 11 класс синус и косинус методы решения уравнений Новый

Для решения тригонометрического уравнения 4sin^2(x) + 13sin(x)cos(x) + 3cos^2(x) = 0, давайте следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Замена переменных

Мы можем использовать замену переменных для упрощения уравнения. Обозначим sin(x) как t. Тогда cos(x) можно выразить через t, используя основное тригонометрическое тождество:

• cos^2(x) = 1 - sin^2(x) = 1 - t^2.

Теперь подставим это в уравнение:

4t^2 + 13t(√(1 - t^2)) + 3(1 - t^2) = 0.

Шаг 2: Упрощение уравнения

Раскроем скобки и упростим уравнение:

• 4t^2 + 13t√(1 - t^2) + 3 - 3t^2 = 0.
• Объединим подобные члены:
• (4t^2 - 3t^2) + 13t√(1 - t^2) + 3 = 0.
• t^2 + 13t√(1 - t^2) + 3 = 0.

Шаг 3: Решение уравнения

Теперь у нас есть уравнение, содержащее t и √(1 - t^2). Чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны уравнения в квадрат. Однако, прежде чем это сделать, давайте выразим √(1 - t^2):

√(1 - t^2) = (0 - t^2 - 3) / 13t.

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

(t^2 + 3)^2 = (13t√(1 - t^2))^2.

Шаг 4: Упрощение и решение

После возведения в квадрат и упрощения мы получим новое уравнение, которое можно решить относительно t. Это может привести к квадратному уравнению, которое мы можем решить с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac.

Решив квадратное уравнение, мы находим значения t, а затем, зная t = sin(x), можем найти x.

Шаг 5: Нахождение углов

Как только мы найдем значения t, мы можем использовать арксинус для нахождения углов x:

• x = arcsin(t) + 2kπ, где k - целое число.
• Также учтем, что sin(x) имеет период 2π.

Таким образом, мы получим все возможные решения уравнения.

Не забывайте проверять найденные значения на принадлежность к исходному уравнению, чтобы избежать лишних решений, возникших из-за возведения в квадрат.