Как можно решить тригонометрическое уравнение: cos x - cos 3x = cos 2x - cos 4x? Срочно помогите, пожалуйста!

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения тригонометрическое уравнение cos x cos 3x cos 2x cos 4x решение уравнения алгебра 11 класс помощь по алгебре Новый

Для решения тригонометрического уравнения cos x - cos 3x = cos 2x - cos 4x мы будем использовать некоторые тригонометрические тождества и свойства косинуса.

Первый шаг – упростим уравнение, используя формулы разности косинусов:

• cos A - cos B = -2 sin((A + B)/2) sin((A - B)/2).

Применим это тождество к левой части уравнения:

• cos x - cos 3x = -2 sin((x + 3x)/2) sin((x - 3x)/2) = -2 sin(2x) sin(-x) = 2 sin(2x) sin(x).

Теперь рассмотрим правую часть уравнения:

• cos 2x - cos 4x = -2 sin((2x + 4x)/2) sin((2x - 4x)/2) = -2 sin(3x) sin(-x) = 2 sin(3x) sin(x).

Теперь мы можем записать наше уравнение в более простой форме:

2 sin(2x) sin(x) = 2 sin(3x) sin(x)

Теперь можем сократить обе стороны на 2 sin(x), но нужно помнить, что это возможно только при условии, что sin(x) ≠ 0. Если sin(x) = 0, то x = nπ, где n – целое число. Мы рассмотрим этот случай позже.

Сокращаем уравнение:

sin(2x) = sin(3x)

Теперь мы можем использовать свойство равенства синусов:

• sin A = sin B => A = B + 2kπ или A = π - B + 2kπ, где k – целое число.

Применим это к нашему уравнению:

1. 2x = 3x + 2kπ, что приводит к x = -2kπ.
2. 2x = π - 3x + 2kπ, что приводит к 5x = π + 2kπ, и x = (π + 2kπ)/5.

Теперь вернемся к случаю, когда sin(x) = 0:

• sin(x) = 0 => x = nπ, где n – целое число.

Теперь у нас есть два типа решений:

• x = -2kπ (для k ∈ Z),
• x = (π + 2kπ)/5 (для k ∈ Z),
• x = nπ (для n ∈ Z).

Таким образом, общее решение тригонометрического уравнения cos x - cos 3x = cos 2x - cos 4x можно записать как:

x = -2kπ, x = (π + 2kπ)/5, x = nπ, где k и n – целые числа.