Как можно решить тригонометрическое уравнение: sin(4x) + корень из 3 * cos(4x) = корень из 2? (помогите, плиииз...)

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения тригонометрическое уравнение решение уравнения sin(4x) cos(4x) алгебра 11 класс корень из 3 корень из 2 математический анализ задачи по алгебре Тригонометрия Новый

Решим тригонометрическое уравнение:

sin(4x) + √3 * cos(4x) = √2

Для начала, давайте выразим уравнение в более удобной форме. Мы можем воспользоваться методом приведения к одному тригонометрическому выражению. Для этого вспомним, что:

sin(a) + b * cos(a) можно представить в виде R * sin(a + φ), где:

• R = √(1 + b²)
• φ = arctan(b)

В нашем случае a = 4x, b = √3. Найдем R и φ:

1. R = √(1 + (√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2.
2. φ = arctan(√3). Поскольку tan(π/3) = √3, то φ = π/3.

Теперь подставим это в уравнение:

2 * sin(4x + π/3) = √2.

Разделим обе стороны на 2:

sin(4x + π/3) = √2 / 2.

Теперь мы знаем, что sin(θ) = √2 / 2, когда:

• θ = π/4 + 2kπ, где k – целое число,
• θ = 3π/4 + 2kπ, где k – целое число.

Подставим 4x + π/3 вместо θ:

• 4x + π/3 = π/4 + 2kπ,
• 4x + π/3 = 3π/4 + 2kπ.

Теперь решим каждое из этих уравнений:

Первое уравнение:

4x + π/3 = π/4 + 2kπ.

Вычтем π/3 из обеих сторон:

4x = π/4 - π/3 + 2kπ.

Приведем к общему знаменателю:

π/4 - π/3 = 3π/12 - 4π/12 = -π/12.

Итак, у нас получается:

4x = -π/12 + 2kπ.

Разделим обе стороны на 4:

x = -π/48 + kπ/2.

Второе уравнение:

4x + π/3 = 3π/4 + 2kπ.

Вычтем π/3 из обеих сторон:

4x = 3π/4 - π/3 + 2kπ.

Приведем к общему знаменателю:

3π/4 - π/3 = 9π/12 - 4π/12 = 5π/12.

Таким образом, мы получаем:

4x = 5π/12 + 2kπ.

Разделим обе стороны на 4:

x = 5π/48 + kπ/2.

Теперь у нас есть два обобщенных решения:

• x = -π/48 + kπ/2,
• x = 5π/48 + kπ/2.

где k – любое целое число. Это и есть общее решение нашего тригонометрического уравнения.