Как можно решить уравнение 1/cos^2 + 4tgx - 6 = 0?

Помогите, ребят!)

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс уравнение с косинусом уравнение с тангенсом математические задачи помощь по алгебре Новый

Для решения уравнения 1/cos^2(x) + 4tg(x) - 6 = 0, давайте начнем с преобразования выражений. Мы знаем, что tg(x) = sin(x)/cos(x) и 1/cos^2(x) = sec^2(x). Таким образом, уравнение можно переписать следующим образом:

Шаг 1: Преобразование уравнения

• Запишем уравнение в более удобной форме:
• 1/cos^2(x) = sec^2(x), значит уравнение можно записать как:
• sec^2(x) + 4tg(x) - 6 = 0.

Шаг 2: Подстановка

Теперь давайте сделаем подстановку. Обозначим tg(x) = t. Тогда sec^2(x) можно выразить через tg(x): sec^2(x) = 1 + tg^2(x) = 1 + t^2. Подставим это в уравнение:

1 + t^2 + 4t - 6 = 0.

Шаг 3: Упрощение уравнения

Теперь упростим уравнение:

• t^2 + 4t + 1 - 6 = 0;
• t^2 + 4t - 5 = 0.

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение t^2 + 4t - 5 = 0. Для этого можем использовать формулу корней квадратного уравнения:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 4, c = -5.

Шаг 5: Подстановка значений

• Вычислим дискриминант:
• D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36;
• Теперь найдем корни:
• t1 = (-4 + √36) / 2 = (-4 + 6) / 2 = 2 / 2 = 1;
• t2 = (-4 - √36) / 2 = (-4 - 6) / 2 = -10 / 2 = -5.

Шаг 6: Обратная подстановка

Теперь мы нашли два значения для t: t1 = 1 и t2 = -5. Не забываем, что t = tg(x).

• Для t1 = 1: tg(x) = 1. Это значит, что x = π/4 + kπ, где k - любое целое число.
• Для t2 = -5: tg(x) = -5. Это значит, что x = arctg(-5) + kπ, где k - любое целое число.

Шаг 7: Ответ

Таким образом, общее решение уравнения:

• x = π/4 + kπ, где k - любое целое число;
• x = arctg(-5) + kπ, где k - любое целое число.

Если у вас есть дополнительные вопросы по решению, не стесняйтесь спрашивать!