Как можно решить уравнение 2cos(2x) - 3 = 8cos(x)?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение 2cos(2x) - 3 = 8cos(x) решение тригонометрических уравнений алгебра 11 класс Новый

Чтобы решить уравнение 2cos(2x) - 3 = 8cos(x), начнем с преобразования его к более удобному виду. Сначала вспомним, что cos(2x) можно выразить через cos(x) с помощью формулы:

• cos(2x) = 2cos²(x) - 1

Теперь подставим это выражение в уравнение:

2(2cos²(x) - 1) - 3 = 8cos(x)

Раскроем скобки:

• 4cos²(x) - 2 - 3 = 8cos(x)

Упростим уравнение, объединив подобные члены:

• 4cos²(x) - 5 = 8cos(x)

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:

• 4cos²(x) - 8cos(x) - 5 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cos(x). Обозначим y = cos(x). Тогда уравнение примет вид:

• 4y² - 8y - 5 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней:

• y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Здесь a = 4, b = -8, c = -5. Подставим эти значения в формулу:

• y = (8 ± √((-8)² - 4 * 4 * (-5))) / (2 * 4)
• y = (8 ± √(64 + 80)) / 8
• y = (8 ± √144) / 8
• y = (8 ± 12) / 8

Теперь найдем два корня:

• y₁ = (8 + 12) / 8 = 20 / 8 = 2.5
• y₂ = (8 - 12) / 8 = -4 / 8 = -0.5

Теперь вернемся к cos(x). Мы получили:

• cos(x) = 2.5
• cos(x) = -0.5

Обратите внимание, что cos(x) не может быть больше 1, поэтому cos(x) = 2.5 не имеет решения.

Теперь рассмотрим второе уравнение cos(x) = -0.5. Это уравнение имеет решения:

• x = 2π/3 + 2kπ
• x = 4π/3 + 2kπ

где k – любое целое число.

Таким образом, окончательные решения уравнения 2cos(2x) - 3 = 8cos(x):

• x = 2π/3 + 2kπ
• x = 4π/3 + 2kπ