Как можно решить уравнение 2sin^2x-3cosx-1=0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение алгебра 11 класс решение Тригонометрия синус косинус математические методы учебник задачи Новый

Чтобы решить уравнение 2sin²x - 3cosx - 1 = 0, начнем с преобразования тригонометрических функций. Мы знаем, что sin²x можно выразить через cosx с помощью тождества sin²x = 1 - cos²x. Подставим это в уравнение.

Шаг 1: Подстановка sin²x

Заменим sin²x в уравнении:

2(1 - cos²x) - 3cosx - 1 = 0

Шаг 2: Упрощение уравнения

Раскроем скобки и упростим:

• 2 - 2cos²x - 3cosx - 1 = 0
• -2cos²x - 3cosx + 1 = 0

Теперь умножим все уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

• 2cos²x + 3cosx - 1 = 0

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cosx. Обозначим cosx как t:

• 2t² + 3t - 1 = 0

Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = 3² - 4 * 2 * (-1) = 9 + 8 = 17

Шаг 4: Нахождение корней

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

• t₁ = (-b + √D) / (2a) = (-3 + √17) / 4
• t₂ = (-b - √D) / (2a) = (-3 - √17) / 4

Шаг 5: Подставляем значения

Теперь подставим значения D в формулы:

• t₁ = (-3 + √17) / 4
• t₂ = (-3 - √17) / 4

Шаг 6: Определяем допустимые значения

Поскольку t = cosx, необходимо проверить, попадают ли найденные корни в диапазон [-1, 1].

Для t₁:

• Подсчитаем значение: (-3 + √17) / 4 ≈ 0.561

Это значение лежит в диапазоне [-1, 1].

Для t₂:

• Подсчитаем значение: (-3 - √17) / 4 < -1

Это значение не подходит, так как не входит в диапазон [-1, 1].

Шаг 7: Находим x

Теперь найдем x для корня t₁:

• cosx = (-3 + √17) / 4

Используем арккосинус для нахождения угла:

• x = arccos((-3 + √17) / 4)

Не забудьте, что косинус имеет период 2π, и также учитываем, что cosx = t дает два значения в пределах одного периода:

• x₁ = arccos((-3 + √17) / 4)
• x₂ = 2π - arccos((-3 + √17) / 4)

Шаг 8: Записываем общий ответ

Таким образом, общее решение уравнения:

• x = arccos((-3 + √17) / 4) + 2kπ
• x = 2π - arccos((-3 + √17) / 4) + 2kπ

где k - любое целое число.