Как можно решить уравнение 2sin^2x + cos^2x = 5sinx cosx?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение алгебра 11 класс решение Тригонометрия синус косинус математические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение 2sin^2x + cos^2x = 5sinx cosx, начнем с преобразования уравнения и использования тригонометрических тождеств.

1. Вспомним, что cos^2x можно выразить через sin^2x. Используем тождество:

• cos^2x = 1 - sin^2x

2. Подставим это выражение в уравнение:

2sin^2x + (1 - sin^2x) = 5sinx cosx

3. Упростим левую часть уравнения:

• 2sin^2x - sin^2x + 1 = 5sinx cosx
• sin^2x + 1 = 5sinx cosx

4. Теперь вспомним, что 5sinx cosx можно заменить на (5/2)sin(2x) с помощью формулы двойного угла. Но для упрощения уравнения лучше оставить его в текущем виде. Перепишем уравнение:

sin^2x - 5sinx cosx + 1 = 0

5. Теперь выразим cosx через sinx. Используя t = sinx, получаем:

• cosx = sqrt(1 - t^2)

6. Подставим cosx в уравнение:

t^2 - 5t * sqrt(1 - t^2) + 1 = 0

7. Это уравнение является квадратным относительно t. Чтобы решить его, необходимо избавиться от корня. Для этого возведем обе стороны в квадрат:

(t^2 - 1)^2 = 25t^2(1 - t^2)

8. Раскроем скобки и приведем подобные:

t^4 - 2t^2 + 1 = 25t^2 - 25t^4

26t^4 - 23t^2 + 1 = 0

9. Теперь это квадратное уравнение относительно t^2. Обозначим u = t^2. Уравнение примет вид:

26u^2 - 23u + 1 = 0

10. Используем формулу дискриминанта для нахождения корней:

D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 * 26 * 1 = 529 - 104 = 425

11. Найдем корни уравнения:

u1,2 = (23 ± sqrt(425)) / (2 * 26)

12. Теперь, зная значения u, мы можем найти sin^2x и, соответственно, sinx. Не забудьте, что sinx может иметь два значения на интервале [0, 2π].

13. После нахождения значений sinx, можно найти соответствующие значения x, используя обратные тригонометрические функции.

Таким образом, уравнение 2sin^2x + cos^2x = 5sinx cosx решается через преобразование и использование тригонометрических тождеств. Удачи в решении!