Как можно решить уравнение 2sinx + 2.5sin2x - 3cos^2x = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические уравнения синус и косинус методы решения уравнений Новый

Решим уравнение 2sin(x) + 2.5sin(2x) - 3cos²(x) = 0. Для этого начнем с преобразования уравнения.

Шаг 1: Используем тригонометрические тождества.

Мы знаем, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Подставим это в уравнение:

• 2sin(x) + 2.5(2sin(x)cos(x)) - 3cos²(x) = 0
• 2sin(x) + 5sin(x)cos(x) - 3cos²(x) = 0

Шаг 2: Вынесем общий множитель.

Теперь можно вынести sin(x) из первых двух слагаемых:

• sin(x)(2 + 5cos(x)) - 3cos²(x) = 0

Шаг 3: Разделим уравнение на два случая.

Теперь у нас есть произведение, равное нулю. Это означает, что хотя бы один из множителей равен нулю:

1. sin(x) = 0
2. 2 + 5cos(x) - 3cos²(x) = 0

Шаг 4: Решим первый случай.

Решим уравнение sin(x) = 0:

• x = nπ, где n — целое число.

Шаг 5: Решим второй случай.

Теперь решим уравнение 2 + 5cos(x) - 3cos²(x) = 0. Это квадратное уравнение относительно cos(x):

• -3cos²(x) + 5cos(x) + 2 = 0.

Шаг 6: Применим формулу решения квадратного уравнения.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0:

• x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.

В нашем случае a = -3, b = 5, c = 2:

• D = b² - 4ac = 5² - 4*(-3)*2 = 25 + 24 = 49.
• Корни: cos(x) = (5 ± √49) / (2*(-3)) = (5 ± 7) / -6.

Теперь найдем два корня:

• cos(x) = (5 + 7) / -6 = 12 / -6 = -2 (не имеет смысла, так как cos(x) не может быть больше 1)
• cos(x) = (5 - 7) / -6 = -2 / -6 = 1/3.

Шаг 7: Найдем x для cos(x) = 1/3.

Решение cos(x) = 1/3 даёт:

• x = arccos(1/3) + 2πn
• x = -arccos(1/3) + 2πn, где n — целое число.

Итог:

Общее решение уравнения:

• x = nπ, где n — целое число;
• x = arccos(1/3) + 2πn;
• x = -arccos(1/3) + 2πn.