Как можно решить уравнение: 3 - 3cos x = 2sin^2 x?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические уравнения cos x sin^2 x математические методы уравнения с косинусом уравнения с синусом Новый

Для решения уравнения 3 - 3cos x = 2sin^2 x начнем с преобразования его в более удобную форму. Мы знаем, что sin^2 x + cos^2 x = 1, откуда sin^2 x = 1 - cos^2 x. Подставим это выражение в наше уравнение.

1. Подставим sin^2 x:

• 3 - 3cos x = 2(1 - cos^2 x)

2. Раскроем скобки:

• 3 - 3cos x = 2 - 2cos^2 x

3. Переносим все члены в одну сторону уравнения:

• 2cos^2 x - 3cos x + 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos x. Мы можем решить его с помощью формулы для корней квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0, где:

• a = 2
• b = -3
• c = 1

4. Найдем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1

5. Теперь найдем корни уравнения:

• cos x = (-b ± √D) / (2a)
• cos x = (3 ± 1) / 4

6. Находим два возможных значения:

• cos x = (3 + 1) / 4 = 4 / 4 = 1
• cos x = (3 - 1) / 4 = 2 / 4 = 1/2

Теперь у нас есть два значения для cos x:

• cos x = 1
• cos x = 1/2

7. Найдем соответствующие значения x:

• Для cos x = 1: x = 0 + 2πk, где k - целое число.
• Для cos x = 1/2: x = π/3 + 2πk или x = 5π/3 + 2πk, где k - целое число.

В итоге, общее решение уравнения:

• x = 0 + 2πk
• x = π/3 + 2πk
• x = 5π/3 + 2πk

Это и есть все возможные решения нашего уравнения.