Как можно решить уравнение 3 + 6cos(2x) + 3cos(4x) + 2cos(6x) = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические уравнения cos 2x cos 4x cos 6x метод решения уравнений математические задачи алгебраические уравнения Новый

Для решения уравнения 3 + 6cos(2x) + 3cos(4x) + 2cos(6x) = 0 мы можем использовать тригонометрические преобразования и свойства косинуса.

Шаг 1: Перепишем уравнение, чтобы упростить его:

• Сначала перенесем 3 в правую часть уравнения:
• 6cos(2x) + 3cos(4x) + 2cos(6x) = -3

Шаг 2: Используем формулы для преобразования косинусов:

• Обратим внимание на то, что cos(4x) = cos(2(2x)) и cos(6x) = cos(2(3x)). Мы можем использовать двойные углы для упрощения.

Шаг 3: Применим формулы приведения:

• Сначала выразим cos(4x) через cos(2x):
• cos(4x) = 2cos^2(2x) - 1
• Теперь подставим это в уравнение:
• 6cos(2x) + 3(2cos^2(2x) - 1) + 2cos(6x) = -3
• Упростим это уравнение:
• 6cos(2x) + 6cos^2(2x) - 3 + 2cos(6x) = -3
• Теперь у нас получится:
• 6cos(2x) + 6cos^2(2x) + 2cos(6x) = 0

Шаг 4: Попробуем выразить cos(6x) через cos(2x):

• Мы знаем, что cos(6x) = 4cos^3(2x) - 3cos(2x) (формула для куба косинуса).
• Подставляем это в уравнение:
• 6cos(2x) + 6cos^2(2x) + 2(4cos^3(2x) - 3cos(2x)) = 0

Шаг 5: Упрощаем уравнение:

• 6cos(2x) + 6cos^2(2x) + 8cos^3(2x) - 6cos(2x) = 0
• Сокращаем 6cos(2x):
• 6cos^2(2x) + 8cos^3(2x) = 0

Шаг 6: Вынесем общий множитель:

• 2cos^2(2x)(3 + 4cos(2x)) = 0

Шаг 7: Решаем каждое из множителей:

• Первый множитель: 2cos^2(2x) = 0 дает cos(2x) = 0, что означает 2x = (2n + 1)π/2, где n - целое число. Следовательно, x = (2n + 1)π/4.
• Второй множитель: 3 + 4cos(2x) = 0 приводит к cos(2x) = -3/4, что также имеет решение, используя обратную функцию косинуса.

Шаг 8: Подводим итог:

• Решения уравнения:
• x = (2n + 1)π/4 и 2x = arccos(-3/4) + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, мы нашли все возможные решения данного уравнения.