Как можно решить уравнение 3Cos^(2)X - Sin^(2)X - Sin2X = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические уравнения cos и sin математические методы уравнение 3Cos^2X sin^2x sin2x алгебраические преобразования Новый

Для решения уравнения 3Cos²X - Sin²X - Sin2X = 0, давайте начнем с преобразования некоторых выражений. Мы знаем, что Sin2X можно выразить через синус и косинус:

• Sin2X = 2SinXCosX.

Теперь подставим это выражение в уравнение:

3Cos²X - Sin²X - 2SinXCosX = 0.

Следующий шаг - выразить Sin²X через Cos²X. Мы знаем, что Sin²X = 1 - Cos²X. Подставим это в уравнение:

3Cos²X - (1 - Cos²X) - 2SinXCosX = 0.

Упростим уравнение:

• 3Cos²X - 1 + Cos²X - 2SinXCosX = 0,
• 4Cos²X - 1 - 2SinXCosX = 0.

Теперь выразим SinX через CosX, используя идентичность Sin²X + Cos²X = 1:

• SinX = √(1 - Cos²X).

Теперь подставим это выражение в уравнение:

4Cos²X - 1 - 2(√(1 - Cos²X))CosX = 0.

Это уравнение может быть сложным для решения, поэтому давайте рассмотрим его в другой форме. Мы можем попробовать выразить уравнение через одну тригонометрическую функцию. Для этого можно использовать замену:

• CosX = t.

Тогда SinX = √(1 - t²), и уравнение преобразуется в:

4t² - 1 - 2(√(1 - t²))t = 0.

Теперь мы можем решить это уравнение для t. Прежде всего, давайте переместим все в одну сторону:

4t² - 1 = 2t√(1 - t²).

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(4t² - 1)² = (2t)²(1 - t²).

Раскроем скобки:

• (16t^4 - 8t² + 1) = 4t²(1 - t²),
• 16t^4 - 8t² + 1 = 4t² - 4t^4.

Соберем все в одну сторону:

16t^4 + 4t^4 - 8t² - 4t² + 1 = 0.

Это уравнение можно упростить до:

20t^4 - 12t² + 1 = 0.

Теперь это квадратное уравнение относительно t². Обозначим z = t². Тогда у нас получается:

20z² - 12z + 1 = 0.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = (-12)² - 4 * 20 * 1 = 144 - 80 = 64.

Теперь найдем корни уравнения:

• z = (12 ± √64) / (2 * 20) = (12 ± 8) / 40.

Таким образом, получаем два значения:

• z₁ = (20) / 40 = 0.5,
• z₂ = (4) / 40 = 0.1.

Теперь возвращаемся к переменной t. Поскольку z = t², то:

• t² = 0.5, t = ±√0.5 = ±√2/2,
• t² = 0.1, t = ±√0.1 = ±√(1/10) = ±1/√10.

Теперь мы можем найти углы X, используя обратные тригонометрические функции:

• CosX = √2/2 ⇒ X = π/4 + 2kπ или X = 7π/4 + 2kπ, k ∈ Z,
• CosX = -√2/2 ⇒ X = 3π/4 + 2kπ или X = 5π/4 + 2kπ, k ∈ Z,
• CosX = √(1/10) ⇒ X = arccos(√(1/10)) + 2kπ или X = -arccos(√(1/10)) + 2kπ, k ∈ Z,
• CosX = -√(1/10) ⇒ X = arccos(-√(1/10)) + 2kπ или X = -arccos(-√(1/10)) + 2kπ, k ∈ Z.

Таким образом, мы нашли все возможные решения уравнения 3Cos²X - Sin²X - Sin2X = 0. Не забывайте, что для более точных значений необходимо использовать калькулятор или таблицы значений тригонометрических функций.