Как можно решить уравнение 3sin^2x - 0,5sin2x - 4cos^2x= 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические уравнения синус и косинус методы решения уравнений Новый

Для решения уравнения 3sin²x - 0,5sin2x - 4cos²x = 0, начнем с преобразования уравнения, используя известные тригонометрические тождества.

Напомним, что sin2x = 2sinxcosx и cos²x = 1 - sin²x. Подставим эти тождества в уравнение:

1. Заменим cos²x на 1 - sin²x:
• 3sin²x - 0,5(2sinxcosx) - 4(1 - sin²x) = 0
2. Теперь упростим выражение:
• 3sin²x - sinxcosx - 4 + 4sin²x = 0
• (3sin²x + 4sin²x) - sinxcosx - 4 = 0
• 7sin²x - sinxcosx - 4 = 0

Теперь мы можем выразить cosx через sinx. Используя тождество cos²x = 1 - sin²x, получаем:

1. cosx = sqrt(1 - sin²x) или cosx = -sqrt(1 - sin²x).

Теперь подставим это обратно в уравнение:

1. 7sin²x - sinx * sqrt(1 - sin²x) - 4 = 0
2. или
3. 7sin²x + sinx * sqrt(1 - sin²x) - 4 = 0 (для отрицательного cosx).

Это уравнение можно решать численно или графически, но давайте попробуем решить его аналитически. Для этого обозначим sinx = t, тогда уравнение примет вид:

1. 7t² - tsqrt(1 - t²) - 4 = 0

Теперь мы можем выразить sqrt(1 - t²) через t:

1. sqrt(1 - t²) = (7t² - 4) / t.

Квадратируем обе стороны:

1. 1 - t² = (7t² - 4)² / t².

Теперь решаем это уравнение относительно t. После упрощения мы получим квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта.

После нахождения значений t, мы можем найти значения x, используя обратную функцию синуса:

1. x = arcsin(t) + 2kπ, k ∈ Z
2. x = π - arcsin(t) + 2kπ, k ∈ Z

Таким образом, у нас есть все шаги для нахождения решения уравнения 3sin²x - 0,5sin2x - 4cos²x = 0. Не забудьте проверить найденные значения, подставив их обратно в исходное уравнение.