Как можно решить уравнение 3sin2x + cos2x = 2cos^2x? Подскажите, пожалуйста, каким образом это сделать?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические уравнения 3sin2x + cos2x 2cos^2x методы решения уравнений алгебраические методы синус и косинус уравнения с тригонометрическими функциями помощь по алгебре Новый

Для решения уравнения 3sin(2x) + cos(2x) = 2cos^2(x) давайте сначала вспомним некоторые тригонометрические идентичности.

Во-первых, мы знаем, что:

• sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
• cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

3(2sin(x)cos(x)) + (2cos^2(x) - 1) = 2cos^2(x)

Упростим уравнение:

1. 6sin(x)cos(x) + 2cos^2(x) - 1 = 2cos^2(x)
2. Теперь уберем 2cos^2(x) с обеих сторон:
3. 6sin(x)cos(x) - 1 = 0

Теперь выразим sin(x) через cos(x):

6sin(x)cos(x) = 1

Теперь разделим обе стороны на cos(x) (при условии, что cos(x) не равен 0):

6sin(x) = 1/cos(x)

Теперь мы можем выразить sin(x) через cos(x):

sin(x) = 1/(6cos(x))

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим соотношением:

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Подставим sin(x) в это уравнение:

(1/(6cos(x)))^2 + cos^2(x) = 1

Упростим это уравнение:

1/(36cos^2(x)) + cos^2(x) = 1

Умножим все на 36cos^2(x), чтобы избавиться от дробей:

1 + 36cos^4(x) = 36cos^2(x)

Теперь приведем все к одному уравнению:

36cos^4(x) - 36cos^2(x) + 1 = 0

Теперь введем замену: пусть y = cos^2(x). Тогда уравнение принимает вид:

36y^2 - 36y + 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-36)^2 - 4*36*1 = 1296 - 144 = 1152

Теперь найдем корни:

y = (36 ± √1152) / (2*36)

После подсчетов получаем:

y = (36 ± 34) / 72

Это дает два значения:

• y1 = (70) / 72 = 35/36
• y2 = (2) / 72 = 1/36

Теперь вернемся к cos(x):

cos^2(x) = 35/36 или cos^2(x) = 1/36.

Теперь найдем cos(x):

• cos(x) = ±√(35/36) = ±√35/6
• cos(x) = ±√(1/36) = ±1/6

Теперь найдем значения x, используя арккосинус:

• Для cos(x) = √35/6 и cos(x) = -√35/6
• Для cos(x) = 1/6 и cos(x) = -1/6

Не забудьте учесть, что cos(x) имеет период 2π, поэтому решения будут в виде:

x = ±arccos(√35/6) + 2kπ и x = ±arccos(1/6) + 2kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, мы нашли все возможные решения уравнения!