Как можно решить уравнение 3x + 1/(x + 2) = 2x - 3/(x - 2)?

Алгебра 11 класс Рациональные уравнения решение уравнения алгебра 11 класс уравнение 3x + 1/(x + 2) алгебраические уравнения методы решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение 3x + 1/(x + 2) = 2x - 3/(x - 2), следуем следующим шагам:

1. Приведем уравнение к общему виду. Для этого сначала выразим дроби отдельно:
• Сначала перенесем все члены в одну часть уравнения:
• 3x + 1/(x + 2) - 2x + 3/(x - 2) = 0.
2. Упростим выражение. Объединим подобные члены:
• (3x - 2x) + 1/(x + 2) + 3/(x - 2) = 0,
• что упрощается до:
• x + 1/(x + 2) + 3/(x - 2) = 0.
3. Объединим дроби. Найдем общий знаменатель для дробей:
• Общий знаменатель будет (x + 2)(x - 2).
• Перепишем дроби:
• 1/(x + 2) = (x - 2)/(x + 2)(x - 2),
• 3/(x - 2) = 3(x + 2)/(x - 2)(x + 2).
• Теперь у нас есть:
• 1/(x + 2) + 3/(x - 2) = (x - 2 + 3(x + 2))/((x + 2)(x - 2)).
4. Упростим числитель:
• x - 2 + 3x + 6 = 4x + 4.
• Теперь у нас есть:
• x + (4x + 4)/((x + 2)(x - 2)) = 0.
5. Умножим обе стороны на общий знаменатель (чтобы избавиться от дробей):
• (x + 2)(x - 2) * x + 4x + 4 = 0.
6. Раскроем скобки:
• x^2 - 4 + 4x + 4 = 0.
• Упрощаем:
• x^2 + 4x = 0.
7. Вынесем x за скобки:
• x(x + 4) = 0.
8. Решим уравнение:
• x = 0 или x + 4 = 0.
• Следовательно, x = 0 или x = -4.
9. Проверим найденные корни:
• Подставим x = 0:
• 3(0) + 1/(0 + 2) = 2(0) - 3/(0 - 2) => 0 + 0.5 = 0 + 1.5 (неравенство, значит x = 0 не корень).
• Подставим x = -4:
• 3(-4) + 1/(-2) = 2(-4) - 3/(-6) => -12 - 0.5 = -8 + 0.5 (равенство, значит x = -4 корень).

Таким образом, единственным решением уравнения является x = -4.