Чтобы решить уравнение 6x - x^2 / (x^2 - 6x) + (x + 6) / (x - 6) = 3 / x, следуем следующим шагам:

1. Приведем все части уравнения к общему знаменателю. Для этого сначала упростим выражение в левой части:
   • У нас есть дробь - x^2 / (x^2 - 6x), которую можно упростить. Заметим, что x^2 - 6x = x(x - 6).
   • Таким образом, дробь становится - x^2 / (x(x - 6)).
2. Теперь упростим вторую дробь.
   • Дробь (x + 6) / (x - 6) остается без изменений.
3. Теперь найдем общий знаменатель для всех дробей.
   • Общий знаменатель будет x(x - 6).
4. Приведем каждую дробь к общему знаменателю.
   • Первая дробь: 6x = 6x * (x(x - 6) / x(x - 6)) = 6x^2(x - 6) / (x(x - 6)).
   • Вторая дробь: - x^2 / (x(x - 6)).
   • Третья дробь: (x + 6) / (x - 6) = (x + 6) * (x / x) = (x^2 + 6x) / (x(x - 6)).
   • Четвертая дробь: 3 / x = 3 * ((x - 6) / (x - 6)) = (3(x - 6)) / (x(x - 6)).
5. Теперь у нас есть уравнение:
   • (6x^2(x - 6) - x^2 + x^2 + 6x - 3(x - 6)) / (x(x - 6)) = 0.
6. Упростим числитель:
   • Соберем все члены: 6x^2(x - 6) - 3(x - 6) = 0.
   • Факторизуем: (x - 6)(6x^2 - 3) = 0.
7. Решим каждую часть:
   • x - 6 = 0 дает x = 6.
   • 6x^2 - 3 = 0 дает x^2 = 1/2, следовательно, x = ±sqrt(1/2).
8. Проверим найденные значения на допустимость:
   • Значение x = 6 не подходит, так как оно делает знаменатель равным нулю.
   • Значения x = sqrt(1/2) и x = -sqrt(1/2) допустимы.

Таким образом, решения уравнения: x = sqrt(1/2) и x = -sqrt(1/2).