Как можно решить уравнение 4 sin^2 (x/2) + 8 cos (x/2) - 7 = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение решение уравнения алгебра 11 класс Тригонометрия sin cos квадратное уравнение математические методы нахождение корней Новый

Для решения уравнения 4 sin^2 (x/2) + 8 cos (x/2) - 7 = 0, начнем с преобразования тригонометрических функций. Мы знаем, что sin^2(a) = 1 - cos^2(a). Таким образом, мы можем выразить sin^2(x/2) через cos(x/2).

1. Заменим sin^2(x/2) в уравнении:

• 4(1 - cos^2(x/2)) + 8 cos(x/2) - 7 = 0

2. Раскроем скобки:

• 4 - 4 cos^2(x/2) + 8 cos(x/2) - 7 = 0

3. Упростим уравнение:

• -4 cos^2(x/2) + 8 cos(x/2) - 3 = 0

4. Умножим уравнение на -1 для удобства:

• 4 cos^2(x/2) - 8 cos(x/2) + 3 = 0

5. Теперь это квадратное уравнение относительно cos(x/2). Обозначим cos(x/2) как t. Получаем:

• 4t^2 - 8t + 3 = 0

6. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 4 * 3 = 64 - 48 = 16

7. Находим корни уравнения по формуле:

• t1,2 = (-b ± √D) / (2a)
• t1 = (8 + 4) / 8 = 1.5
• t2 = (8 - 4) / 8 = 0.5

8. Теперь у нас есть два значения для t:

• t1 = 1.5
• t2 = 0.5

9. Однако, значение t1 = 1.5 не подходит, так как косинус не может превышать 1. Мы оставляем только t2 = 0.5.

10. Теперь вернемся к cos(x/2) = 0.5. Найдем x/2:

• x/2 = π/3 + 2kπ или x/2 = 5π/3 + 2kπ, где k - целое число.

11. Умножим на 2, чтобы найти x:

• x = 2π/3 + 4kπ или x = 10π/3 + 4kπ.

12. Упрощаем второе значение:

• x = 2π/3 + 4kπ или x = 10π/3 - 2π = 4π/3 + 4kπ.

Таким образом, окончательные решения уравнения:

• x = 2π/3 + 4kπ
• x = 4π/3 + 4kπ, где k - целое число.