Как можно решить уравнение: 4/(x²-6x+9) + 6/(x²-9) = 1/(x+3)?

Алгебра 11 класс Рациональные уравнения уравнение алгебра решение уравнения дроби 11 класс математические задачи алгебраические выражения x²-6x+9 x²-9 x+3 Новый

Чтобы решить уравнение 4/(x²-6x+9) + 6/(x²-9) = 1/(x+3), начнем с упрощения выражений в дробях.

Первое, что мы заметим, это то, что x² - 6x + 9 можно переписать как (x - 3)², а x² - 9 как (x - 3)(x + 3). Таким образом, уравнение можно записать в следующем виде:

• 4/((x - 3)²) + 6/((x - 3)(x + 3)) = 1/(x + 3)

Теперь найдем общий знаменатель для левой части уравнения. Общий знаменатель будет равен (x - 3)²(x + 3). Перепишем дроби с этим общим знаменателем:

• 4/(x - 3)² = 4(x + 3)/((x - 3)²(x + 3))
• 6/(x - 3)(x + 3) = 6(x - 3)/((x - 3)²(x + 3))

Теперь можем записать левую часть уравнения:

• 4(x + 3)/((x - 3)²(x + 3)) + 6(x - 3)/((x - 3)²(x + 3)) = (4(x + 3) + 6(x - 3))/((x - 3)²(x + 3))

Теперь у нас есть:

• (4(x + 3) + 6(x - 3))/((x - 3)²(x + 3)) = 1/(x + 3)

Теперь умножим обе стороны уравнения на (x - 3)²(x + 3), чтобы избавиться от дробей:

• 4(x + 3) + 6(x - 3) = (x - 3)²

Раскроем скобки:

• 4x + 12 + 6x - 18 = x² - 6x + 9

Соберем все слагаемые в одну сторону:

• 10x - 6 = x² - 6x + 9

Переносим все влево:

• 0 = x² - 16x + 15

Теперь решим квадратное уравнение x² - 16x + 15 = 0 с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = (-16)² - 4*1*15 = 256 - 60 = 196

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:

• x₁ = (16 + √196)/2 = (16 + 14)/2 = 15
• x₂ = (16 - √196)/2 = (16 - 14)/2 = 1

Таким образом, мы получили два решения: x = 15 и x = 1.

Однако, не забудьте проверить, не равны ли эти значения 3 или -3, так как они делают знаменатели равными нулю:

• x = 15: не равно 3 и -3
• x = 1: не равно 3 и -3

Следовательно, оба корня являются допустимыми решениями уравнения.

Ответ: x = 15 и x = 1.