Как можно решить уравнение 4cos^2(x) + sin(x) - 1 = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение алгебра 11 класс решение Тригонометрия cos sin математические задачи методы решения школьная программа Новый

Решим уравнение 4cos^2(x) + sin(x) - 1 = 0 шаг за шагом.

Первым делом, вспомним, что существует связь между синусом и косинусом: sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Это означает, что мы можем выразить cos^2(x) через sin(x):

• cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

Теперь подставим это выражение в наше уравнение:

• 4(1 - sin^2(x)) + sin(x) - 1 = 0

Раскроем скобки:

• 4 - 4sin^2(x) + sin(x) - 1 = 0

Упростим уравнение:

• -4sin^2(x) + sin(x) + 3 = 0

Теперь умножим все уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

• 4sin^2(x) - sin(x) - 3 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x). Обозначим sin(x) как t:

• 4t^2 - t - 3 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

• t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Здесь a = 4, b = -1, c = -3. Подставим значения:

• t = (1 ± √((-1)^2 - 4 * 4 * (-3))) / (2 * 4)
• t = (1 ± √(1 + 48)) / 8
• t = (1 ± √49) / 8
• t = (1 ± 7) / 8

Теперь найдем два корня:

• t1 = (1 + 7) / 8 = 8 / 8 = 1
• t2 = (1 - 7) / 8 = -6 / 8 = -3/4

Теперь вернемся к sin(x):

• sin(x) = 1
• sin(x) = -3/4

Теперь найдем значения x для каждого из случаев:

1. sin(x) = 1:

• Это уравнение имеет решение x = π/2 + 2kπ, где k - любое целое число.

2. sin(x) = -3/4:

• Для этого уравнения можно использовать арксинус:
• x = arcsin(-3/4) + 2kπ и x = π - arcsin(-3/4) + 2kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, общее решение уравнения 4cos^2(x) + sin(x) - 1 = 0 будет:

• x = π/2 + 2kπ
• x = arcsin(-3/4) + 2kπ
• x = π - arcsin(-3/4) + 2kπ

Это и есть все решения данного уравнения!