Как можно решить уравнение 4tg^2x + 11/sin(3π/2 - x) + 10 = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции tg^2x sin(3π/2 - x) уравнение с тангенсом уравнение с синусом Новый

Для решения уравнения 4tg^2x + 11/sin(3π/2 - x) + 10 = 0 начнем с упрощения выражения, содержащего синус.

Мы знаем, что sin(3π/2 - x) = -cos(x). Это свойство тригонометрических функций позволит нам переписать уравнение:

• Подставим это в уравнение:

4tg^2x + 11/(-cos(x)) + 10 = 0

Теперь у нас есть:

4tg^2x - 11/cos(x) + 10 = 0

Заменим tg(x) на sin(x)/cos(x), чтобы выразить уравнение через синусы и косинусы:

• tg^2x = sin^2x/cos^2x

Таким образом, уравнение становится:

4(sin^2x/cos^2x) - 11/cos(x) + 10 = 0

Умножим все уравнение на cos^2x, чтобы избавиться от дробей:

4sin^2x - 11cos(x) + 10cos^2x = 0

Теперь мы можем использовать основное тригонометрическое тождество sin^2x + cos^2x = 1, чтобы заменить sin^2x:

• sin^2x = 1 - cos^2x

Подставим это в уравнение:

4(1 - cos^2x) - 11cos(x) + 10cos^2x = 0

Раскроем скобки:

4 - 4cos^2x - 11cos(x) + 10cos^2x = 0

Теперь соберем подобные слагаемые:

(10cos^2x - 4cos^2x) - 11cos(x) + 4 = 0

Получаем:

6cos^2x - 11cos(x) + 4 = 0

Это квадратное уравнение относительно cos(x). Обозначим y = cos(x), тогда уравнение примет вид:

6y^2 - 11y + 4 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 * 6 * 4 = 121 - 96 = 25

Теперь находим корни уравнения:

• y1 = (11 + √25) / (2 * 6) = (11 + 5) / 12 = 16 / 12 = 4/3 (не подходит, так как cos(x) не может быть больше 1)
• y2 = (11 - √25) / (2 * 6) = (11 - 5) / 12 = 6 / 12 = 1/2

Таким образом, у нас есть только один подходящий корень: cos(x) = 1/2.

Теперь найдем значения x, для которых cos(x) = 1/2. Это происходит при:

• x = π/3 + 2kπ
• x = 5π/3 + 2kπ

где k – любое целое число.

Таким образом, окончательный ответ:

x = π/3 + 2kπ и x = 5π/3 + 2kπ, где k – целое число.