Как можно решить уравнение: 5cos^2x + 5cosx = 1 - 3sin^2x?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение алгебра решение уравнения cos sin Тригонометрия 11 класс математические задачи Новый

Для решения уравнения 5cos²x + 5cosx = 1 - 3sin²x начнем с того, что мы можем использовать основное тригонометрическое тождество, которое связывает синус и косинус:

sin²x + cos²x = 1. Из этого равенства мы можем выразить sin²x через cos²x:

sin²x = 1 - cos²x.

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

1. Заменим sin²x в уравнении:

5cos²x + 5cosx = 1 - 3(1 - cos²x).

Теперь упростим правую часть уравнения:

1. Раскроем скобки:

5cos²x + 5cosx = 1 - 3 + 3cos²x.

Это упростится до:

5cos²x + 5cosx = -2 + 3cos²x.

1. Теперь перенесем все слагаемые в одну сторону уравнения:

5cos²x - 3cos²x + 5cosx + 2 = 0.

Это упростится до:

2cos²x + 5cosx + 2 = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cosx. Мы можем решить его с помощью формулы для квадратных уравнений:

ax² + bx + c = 0, где a = 2, b = 5, c = 2.

Формула корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.

1. Подставим значения a, b и c:

cosx = (-5 ± √(5² - 4 * 2 * 2)) / (2 * 2).

Посчитаем дискриминант:

5² - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9.

Теперь подставим дискриминант в формулу:

cosx = (-5 ± √9) / 4.

√9 = 3, тогда:

cosx = (-5 + 3) / 4 или cosx = (-5 - 3) / 4.

Это дает нам два случая:

1. cosx = -2 / 4 = -0.5,
2. cosx = -8 / 4 = -2 (это значение не подходит, так как косинус не может быть меньше -1).

Таким образом, у нас остался только один случай:

cosx = -0.5.

Теперь найдем x. Значение cosx = -0.5 соответствует углам:

x = 2π/3 + 2kπ и x = 4π/3 + 2kπ, где k - любое целое число.

Итак, окончательный ответ:

x = 2π/3 + 2kπ и x = 4π/3 + 2kπ, где k ∈ Z.