Как можно решить уравнение 6sin^2(x) - 4sin(2x) = -1?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические уравнения синус и косинус математические методы уравнения с синусом алгебраические преобразования Новый

Чтобы решить уравнение 6sin^2(x) - 4sin(2x) = -1, начнем с приведения его к более удобному виду. Для этого сначала вспомним, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Подставим это в уравнение:

Шаг 1: Подстановка sin(2x)

• Уравнение становится: 6sin^2(x) - 4(2sin(x)cos(x)) = -1
• Это можно упростить до: 6sin^2(x) - 8sin(x)cos(x) + 1 = 0

Шаг 2: Замена переменной

Давайте введем замену: t = sin(x). Тогда cos(x) можно выразить через t, используя тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Таким образом, cos(x) = sqrt(1 - t^2), если x находится в диапазоне, где cos(x) неотрицателен.

Теперь подставим это в уравнение:

• 6t^2 - 8t*sqrt(1 - t^2) + 1 = 0

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Это уравнение является сложным для решения, поэтому давайте сначала попробуем решить его непосредственно как квадратное уравнение. Перепишем его в стандартной форме:

• 6t^2 - 8t*sqrt(1 - t^2) + 1 = 0

Теперь мы можем использовать метод подбора или численные методы для нахождения t. Однако, чтобы упростить задачу, давайте попробуем решить уравнение, используя графический подход или численные методы.

Шаг 4: Решение уравнения численно или графически

Решим уравнение 6sin^2(x) - 4sin(2x) + 1 = 0 численно, например, с помощью графиков. Можно построить графики функций y1 = 6sin^2(x) и y2 = 4sin(2x) + 1 и найти их пересечения.

Шаг 5: Найдем значения x

После нахождения значений t (sin(x)), мы можем найти соответствующие углы x, используя обратную функцию синуса:

• x = arcsin(t) + 2kπ или x = π - arcsin(t) + 2kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, мы получим все возможные значения x, удовлетворяющие исходному уравнению. Не забудьте проверить каждое найденное значение на соответствие исходному уравнению.

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше пояснений, не стесняйтесь спрашивать!