Как можно решить уравнение 6sin^2(x) - 5cos(x) + 5 = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение алгебра 11 класс решение уравнения тригонометрические функции синус косинус Новый

Для решения уравнения 6sin^2(x) - 5cos(x) + 5 = 0, начнем с преобразования его в более удобную форму. Мы знаем, что sin^2(x) можно выразить через cos(x) с помощью тригонометрической тождества:

Шаг 1: Используем тождество sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

Подставим это в уравнение:

6(1 - cos^2(x)) - 5cos(x) + 5 = 0

Шаг 2: Упростим уравнение

• Раскроем скобки:
• 6 - 6cos^2(x) - 5cos(x) + 5 = 0
• Соберем все члены:
• -6cos^2(x) - 5cos(x) + 11 = 0

Теперь умножим всё уравнение на -1 для упрощения:

6cos^2(x) + 5cos(x) - 11 = 0

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

Теперь у нас есть квадратное уравнение в виде:

6y^2 + 5y - 11 = 0

где y = cos(x).

Для решения этого уравнения используем формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 6 * (-11) = 25 + 264 = 289

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы корней:

y1,2 = (-b ± √D) / (2a)

Подставляем значения:

• y1 = (-5 + √289) / (2 * 6) = (-5 + 17) / 12 = 12 / 12 = 1
• y2 = (-5 - √289) / (2 * 6) = (-5 - 17) / 12 = -22 / 12 = -11/6 (недопустимо, так как cos(x) не может быть больше 1 или меньше -1)

Шаг 4: Находим угол x

Теперь у нас есть корень y1 = 1. Это значит, что:

cos(x) = 1

Угол x, при котором косинус равен 1, равен:

x = 2πk, где k - любое целое число.

Ответ: Уравнение 6sin^2(x) - 5cos(x) + 5 = 0 имеет решение x = 2πk, где k - целое число.