Как можно решить уравнение 7sinx + 2cos2x - 5 = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции уравнение с синусом и косинусом математические методы решение тригонометрических уравнений Новый

Для решения уравнения 7sin(x) + 2cos(2x) - 5 = 0, давайте разберем его по шагам.

Шаг 1: Приведение к одному тригонометрическому выражению

Сначала заметим, что cos(2x) можно выразить через sin(x) с помощью формулы:

• cos(2x) = 1 - 2sin²(x)

Теперь подставим это выражение в уравнение:

7sin(x) + 2(1 - 2sin²(x)) - 5 = 0

Шаг 2: Упрощение уравнения

Раскроем скобки и упростим уравнение:

• 7sin(x) + 2 - 4sin²(x) - 5 = 0
• -4sin²(x) + 7sin(x) - 3 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x): -4sin²(x) + 7sin(x) - 3 = 0.

Шаг 3: Применение формулы квадратного уравнения

Для решения квадратного уравнения ax² + bx + c = 0, используем формулу:

• sin(x) = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

В нашем случае a = -4, b = 7, c = -3. Подставим эти значения в формулу:

• D = b² - 4ac = 7² - 4*(-4)*(-3) = 49 - 48 = 1
• sin(x) = (7 ± √1) / (2*(-4))

Шаг 4: Нахождение корней

Теперь найдем корни:

• sin(x) = (7 + 1) / (-8) = 8 / (-8) = -1
• sin(x) = (7 - 1) / (-8) = 6 / (-8) = -3/4

Шаг 5: Решение для sin(x)

Теперь мы имеем два значения для sin(x): -1 и -3/4.

Шаг 6: Нахождение углов

Для sin(x) = -1:

• x = 3π/2 + 2kπ, где k - любое целое число.

Для sin(x) = -3/4:

• Мы можем найти углы с помощью обратной функции:
• x = arcsin(-3/4) + 2kπ и x = π - arcsin(-3/4) + 2kπ, где k - любое целое число.

Шаг 7: Запись окончательного ответа

Таким образом, окончательный ответ будет:

• x = 3π/2 + 2kπ
• x = arcsin(-3/4) + 2kπ
• x = π - arcsin(-3/4) + 2kπ

Это все возможные решения уравнения 7sin(x) + 2cos(2x) - 5 = 0.