Чтобы решить уравнение 8 sin x cos x cos 2x = 1, давайте сначала упростим его, используя тригономометрические идентичности.

Мы знаем, что cos 2x можно выразить через sin x и cos x:

• cos 2x = 2cos² x - 1
• или cos 2x = 1 - 2sin² x

Подставим одно из этих выражений в наше уравнение. Используем, например, cos 2x = 2cos² x - 1:

8 sin x cos x (2cos² x - 1) = 1

Теперь раскроем скобки:

16 sin x cos x cos² x - 8 sin x cos x = 1

Теперь давайте перенесем 1 на левую сторону:

16 sin x cos x cos² x - 8 sin x cos x - 1 = 0

Теперь заметим, что 16 sin x cos x можно выразить как 8 sin 2x (поскольку sin 2x = 2 sin x cos x). Тогда уравнение можно переписать следующим образом:

8 sin 2x cos² x - 8 sin 2x - 1 = 0

Теперь выделим общий множитель:

8 sin 2x (cos² x - 1) = 1

Поскольку cos² x - 1 = -sin² x, уравнение можно переписать как:

-8 sin 2x sin² x = 1

Теперь давайте выразим sin 2x через sin x:

sin 2x = 2 sin x cos x

Подставляя это в уравнение, получаем:

-8 (2 sin x cos x) sin² x = 1

Упрощаем:

-16 sin³ x cos x = 1

Теперь давайте выразим cos x через sin x, используя cos² x = 1 - sin² x:

-16 sin³ x (1 - sin² x) = 1

Раскроем скобки:

-16 sin³ x + 16 sin⁵ x = 1

Переносим все в одну сторону:

16 sin⁵ x - 16 sin³ x - 1 = 0

Теперь мы имеем полином, который можно решить численно или графически, так как он не имеет простых корней. Используя численные методы (например, метод Ньютона или графический метод), мы можем найти приближенные значения для sin x.

После нахождения значений sin x, мы можем использовать обратные тригонометрические функции для нахождения x. Не забудьте, что тригонометрические функции периодичны, и нужно будет учесть все возможные значения x в пределах заданного интервала.

Таким образом, мы пришли к решению уравнения, и теперь можно использовать численные методы для нахождения корней.