Как можно решить уравнение 8cosx - 6sinx = 8 - 3sin2x?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции уравнение косинуса и синуса метод решения уравнений Новый

Для решения уравнения 8cosx - 6sinx = 8 - 3sin2x, начнем с упрощения правой части уравнения. Мы знаем, что sin2x можно выразить через sinx и cosx с помощью формулы:

sin2x = 2sinx * cosx

Теперь подставим это в уравнение:

8cosx - 6sinx = 8 - 3(2sinx * cosx)

После подстановки получаем:

8cosx - 6sinx = 8 - 6sinx * cosx

Теперь перенесем все слагаемые в одну сторону уравнения:

8cosx - 6sinx + 6sinx * cosx - 8 = 0

Объединим подобные слагаемые:

(8 + 6sinx)cosx - 6sinx - 8 = 0

Теперь можно выделить cosx:

(8 + 6sinx)cosx = 6sinx + 8

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

1. Случай 1: cosx = 0
2. Случай 2: 8 + 6sinx ≠ 0

Решим первый случай:

cosx = 0. Это происходит при:

• x = π/2 + kπ, где k - целое число.

Теперь рассмотрим второй случай:

Если 8 + 6sinx ≠ 0, то мы можем выразить cosx:

cosx = (6sinx + 8) / (8 + 6sinx)

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим соотношением:

sin²x + cos²x = 1

Подставим выражение для cosx:

sin²x + ((6sinx + 8) / (8 + 6sinx))² = 1

Теперь упростим это уравнение. Это может быть довольно громоздко, поэтому лучше всего решить это уравнение численно или с помощью графиков, чтобы найти значения x, которые удовлетворяют исходному уравнению.

Таким образом, мы получили два типа решений:

• x = π/2 + kπ (из первого случая)
• Решения из второго случая, которые требуют дальнейшего анализа.

Рекомендуется использовать численные методы или графические калькуляторы для нахождения точных значений x из второго случая. Удачи в решении!