Как можно решить уравнение cos(2x) - 2sin(x) - 1 = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения cos(2X) 2sin(x) алгебра 11 класс тригонометрические уравнения методы решения математический анализ угловые функции Новый

Чтобы решить уравнение cos(2x) - 2sin(x) - 1 = 0, давайте разберем его шаг за шагом.

1. Вспомним формулу для косинуса двойного угла:

• cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)
• или, используя sin(x), cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)

Мы можем использовать вторую формулу, так как она содержит только синусы. Подставим это в уравнение:

cos(2x) - 2sin(x) - 1 = 0

1 - 2sin^2(x) - 2sin(x) - 1 = 0

Упростим уравнение:

-2sin^2(x) - 2sin(x) = 0

2. Теперь вынесем общий множитель:

-2(sin^2(x) + sin(x)) = 0

Поскольку -2 не равно нулю, мы можем разделить обе части уравнения на -2:

sin^2(x) + sin(x) = 0

3. Теперь мы можем решить это уравнение. Оно имеет вид:

sin^2(x) + sin(x) = 0

Это квадратное уравнение относительно sin(x). Мы можем его факторизовать:

sin(x)(sin(x) + 1) = 0

4. Теперь у нас есть два возможных решения:

• sin(x) = 0
• sin(x) + 1 = 0, что означает sin(x) = -1

5. Найдем значения x для каждого случая:

Для sin(x) = 0:

• x = nπ, где n – целое число.

Для sin(x) = -1:

• x = (3/2)π + 2kπ, где k – целое число.

6. Таким образом, общее решение уравнения будет:

• x = nπ, где n – целое число,
• x = (3/2)π + 2kπ, где k – целое число.

Это и есть все возможные решения исходного уравнения.