Как можно решить уравнение: cos(3x) + cos(2x) = sin(5x)?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение cos(3x) + cos(2x) = sin(5x) решение тригонометрических уравнений алгебра 11 класс Новый

Чтобы решить уравнение cos(3x) + cos(2x) = sin(5x), следуем следующим шагам:

1. Перепишем уравнение, используя тригонометрические тождества. Мы можем использовать тождество для суммы косинусов:

   cos(A) + cos(B) = 2 * cos((A+B)/2) * cos((A-B)/2)

   В нашем случае A = 3x и B = 2x. Подставим значения:

   • A + B = 3x + 2x = 5x
   • A - B = 3x - 2x = x

   Таким образом, уравнение можно переписать как:

   2 * cos(5x/2) * cos(x/2) = sin(5x)

2. Теперь мы можем выразить sin(5x) через косинус:

   sin(5x) = cos(5x - π/2)

   Теперь у нас есть:

   2 * cos(5x/2) * cos(x/2) = cos(5x - π/2)

3. Решим это уравнение. Для этого можно использовать метод подстановки или графический метод, чтобы найти значения x, при которых обе стороны равны.

   Также можно рассмотреть случаи, когда одна из косинусных функций равна нулю:

   • cos(5x/2) = 0
   • cos(x/2) = 0

4. Решим каждое из этих уравнений:

   • cos(5x/2) = 0:

   Это происходит, когда 5x/2 = (2k + 1)π/2, где k — целое число. Тогда:

   x = (2k + 1)π/5
   • cos(x/2) = 0:

   Это происходит, когда x/2 = (2m + 1)π/2, где m — целое число. Тогда:

   x = (2m + 1)π

5. Теперь подставим значения k и m, чтобы найти конкретные решения для x в пределах одного полного оборота (например, от 0 до 2π).

Таким образом, у нас есть несколько решений для уравнения cos(3x) + cos(2x) = sin(5x), которые можно найти, подставляя различные значения k и m.