Как можно решить уравнение cos x - cos 3x = cos 2x - cos 4x?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс cos x cos 3x cos 2x cos 4x тригонометрические уравнения метод решения уравнений Новый

Для решения уравнения cos x - cos 3x = cos 2x - cos 4x мы можем воспользоваться формулами преобразования косинусов и свойствами тригонометрических функций.

Первым шагом будет применение формулы разности косинусов:

• cos A - cos B = -2 sin((A + B)/2) sin((A - B)/2).

Применим эту формулу к обеим сторонам уравнения:

Сначала преобразуем левую часть:

• A = x, B = 3x:
• cos x - cos 3x = -2 sin((x + 3x)/2) sin((x - 3x)/2) = -2 sin(2x) sin(-x) = 2 sin(2x) sin(x).

Теперь преобразуем правую часть:

• A = 2x, B = 4x:
• cos 2x - cos 4x = -2 sin((2x + 4x)/2) sin((2x - 4x)/2) = -2 sin(3x) sin(-x) = 2 sin(3x) sin(x).

Теперь у нас есть следующее уравнение:

2 sin(2x) sin(x) = 2 sin(3x) sin(x)

Мы можем упростить это уравнение, разделив обе стороны на 2 sin(x), при условии, что sin(x) не равен нулю:

sin(2x) = sin(3x)

Теперь мы можем использовать свойство равенства синусов:

• sin A = sin B => A = B + 2kπ или A = π - B + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, мы получаем два случая:

1. 2x = 3x + 2kπ
2. 2x = π - 3x + 2kπ

Решим первый случай:

• 2x - 3x = 2kπ
• -x = 2kπ
• x = -2kπ.

Теперь решим второй случай:

• 2x + 3x = π + 2kπ
• 5x = π + 2kπ
• x = (π + 2kπ) / 5.

Таким образом, общее решение уравнения:

• x = -2kπ, где k - целое число;
• x = (π + 2kπ) / 5, где k - целое число.

Эти выражения представляют собой множество решений исходного уравнения.