Как можно решить уравнение cos x cos 3x = sin 2x sin 6x?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс cos x sin 2x тригонометрические уравнения математические методы уравнения с косинусом уравнения с синусом Новый

Для решения уравнения cos x cos 3x = sin 2x sin 6x мы можем использовать некоторые тригонометрические тождества и преобразования. Давайте разберем это уравнение шаг за шагом.

Первым делом, мы можем воспользоваться формулами для произведения косинусов и синусов. Напомним, что:

• cos A cos B = 1/2 (cos(A + B) + cos(A - B))
• sin A sin B = 1/2 (cos(A - B) - cos(A + B))

Теперь применим эти формулы к нашему уравнению:

1. Сначала преобразуем левую часть: cos x cos 3x
• cos x cos 3x = 1/2 (cos(4x) + cos(2x))
2. Теперь преобразуем правую часть: sin 2x sin 6x
• sin 2x sin 6x = 1/2 (cos(4x) - cos(8x))

Теперь у нас есть следующее уравнение:

1/2 (cos(4x) + cos(2x)) = 1/2 (cos(4x) - cos(8x))

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

cos(4x) + cos(2x) = cos(4x) - cos(8x)

Теперь перенесем все члены на одну сторону:

cos(2x) + cos(8x) = 0

Теперь мы можем выразить cos(2x):

cos(2x) = -cos(8x)

Используя тождество, что cos A = -cos B, мы можем сказать, что:

• A = 8x + 2kπ или A = -8x + 2kπ, где k - целое число.

Это дает нам два случая:

1. 2x = 8x + 2kπ
2. 2x = -8x + 2kπ

Теперь решим каждый из этих случаев:

1. Для первого случая:
• 2x - 8x = 2kπ
• -6x = 2kπ
• x = -kπ/3
2. Для второго случая:
• 2x + 8x = 2kπ
• 10x = 2kπ
• x = kπ/5

Таким образом, мы получили общее решение уравнения:

• x = -kπ/3 (где k - целое число)
• x = kπ/5 (где k - целое число)

Теперь вы можете подставлять различные значения k, чтобы получить конкретные решения в зависимости от необходимого диапазона для x.