Как можно решить уравнение cosX + cos3X = 4cos2X?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения cosX cos3x 4cos2X алгебра 11 класс тригонометрические уравнения методы решения уравнений Новый

Для решения уравнения cosX + cos3X = 4cos2X, давайте начнем с преобразования его в более удобный вид. Мы можем использовать тригонометрические идентичности для упрощения уравнения.

Шаг 1: Используем формулу для cos3X.

Согласно формуле для косинуса тройного угла, мы знаем, что:

cos3X = 4cos^3X - 3cosX.

Подставим это выражение в наше уравнение:

cosX + (4cos^3X - 3cosX) = 4cos2X.

Упрощаем:

• cosX - 3cosX + 4cos^3X = 4cos2X,
• 4cos^3X - 2cosX = 4cos2X.

Шаг 2: Переписываем cos2X.

Мы также знаем, что:

cos2X = 2cos^2X - 1.

Подставим это значение в уравнение:

4cos^3X - 2cosX = 4(2cos^2X - 1).

Упрощаем правую часть:

• 4cos^3X - 2cosX = 8cos^2X - 4.

Шаг 3: Переносим все в одну сторону.

Теперь перенесем все с одной стороны уравнения:

4cos^3X - 8cos^2X - 2cosX + 4 = 0.

Шаг 4: Упрощаем уравнение.

Это кубическое уравнение относительно cosX. Обозначим cosX = t. Тогда уравнение можно записать как:

4t^3 - 8t^2 - 2t + 4 = 0.

Шаг 5: Решаем кубическое уравнение.

Мы можем попробовать найти корни этого уравнения с помощью метода подбора или деления. Например, подставим t = 2:

4(2)^3 - 8(2)^2 - 2(2) + 4 = 32 - 32 - 4 + 4 = 0.

Таким образом, t = 2 является корнем. Теперь мы можем разделить полином на (t - 2).

Шаг 6: Деление многочлена.

Разделим 4t^3 - 8t^2 - 2t + 4 на (t - 2) с помощью деления многочленов. В результате получим:

4t^2 - 0t - 2.

Таким образом, уравнение можно записать как:

(t - 2)(4t^2 - 2) = 0.

Шаг 7: Находим другие корни.

Решаем 4t^2 - 2 = 0:

• 4t^2 = 2,
• t^2 = 0.5,
• t = ±√0.5 = ±√2/2.

Шаг 8: Возвращаемся к cosX.

Теперь у нас есть три корня:

• cosX = 2 (не подходит, так как косинус не может превышать 1),
• cosX = √2/2,
• cosX = -√2/2.

Шаг 9: Находим углы.

Теперь найдем углы, соответствующие найденным значениям:

• cosX = √2/2: X = π/4 + 2kπ и X = 7π/4 + 2kπ, где k - целое число,
• cosX = -√2/2: X = 3π/4 + 2kπ и X = 5π/4 + 2kπ.

Ответ: Углы, удовлетворяющие уравнению, это:

X = π/4 + 2kπ, 7π/4 + 2kπ, 3π/4 + 2kπ, 5π/4 + 2kπ, где k - целое число.