Как можно решить уравнение cosx + cos3x = cos2x?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс cosX cos3x cos2x тригонометрические уравнения алгебраические методы математические задачи Новый

Чтобы решить уравнение cos(x) + cos(3x) = cos(2x), давайте сначала упростим его, используя тригонометрические тождества.

Шаг 1: Применение формулы для косинуса тройного угла

Сначала вспомним, что косинус тройного угла можно выразить через косинус угла:

• cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)

Теперь подставим это в наше уравнение:

cos(x) + (4cos^3(x) - 3cos(x)) = cos(2x)

Шаг 2: Упрощение уравнения

Упростим левую часть:

• cos(x) - 3cos(x) + 4cos^3(x) = -2cos(x) + 4cos^3(x)

Теперь у нас есть:

-2cos(x) + 4cos^3(x) = cos(2x)

Шаг 3: Применение формулы для косинуса двойного угла

Также вспомним, что:

• cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Подставим это в уравнение:

-2cos(x) + 4cos^3(x) = 2cos^2(x) - 1

Шаг 4: Приведение всех членов к одной стороне

Переносим все члены в одну часть уравнения:

4cos^3(x) - 2cos^2(x) + 2cos(x) - 1 = 0

Шаг 5: Замена переменной

Для упрощения, введем замену:

• y = cos(x)

Тогда уравнение примет вид:

4y^3 - 2y^2 + 2y - 1 = 0

Шаг 6: Решение кубического уравнения

Теперь мы можем решить это кубическое уравнение. Для этого можно использовать методы, такие как деление на множители или метод подбора. Проверим, есть ли у уравнения рациональные корни.

Проверим, например, y = 1:

• 4(1)^3 - 2(1)^2 + 2(1) - 1 = 4 - 2 + 2 - 1 = 3 (не корень)

Проверим y = -1:

• 4(-1)^3 - 2(-1)^2 + 2(-1) - 1 = -4 - 2 - 2 - 1 = -9 (не корень)

Проверим y = 0:

• 4(0)^3 - 2(0)^2 + 2(0) - 1 = -1 (не корень)

Проверим y = 0.5:

• 4(0.5)^3 - 2(0.5)^2 + 2(0.5) - 1 = 4(0.125) - 2(0.25) + 1 - 1 = 0 (корень)

Шаг 7: Деление на (y - 0.5)

Теперь, зная, что y = 0.5 является корнем, можем выполнить деление:

4y^3 - 2y^2 + 2y - 1 = (y - 0.5)(4y^2 + 0y + 2)

Решаем оставшееся квадратное уравнение:

4y^2 + 2 = 0

y^2 = -0.5 (нет действительных корней)

Шаг 8: Возвращаемся к переменной x

Итак, у нас есть один действительный корень: y = 0.5. Теперь вернемся к переменной x:

cos(x) = 0.5

Это уравнение имеет решения:

• x = π/3 + 2kπ
• x = 5π/3 + 2kπ

где k – любое целое число.

Ответ: x = π/3 + 2kπ, x = 5π/3 + 2kπ, где k – любое целое число.