Как можно решить уравнение:

log_x(9x^2) * log_3^2(x) = 4?

Ответ: 1/9; 3.

Пожалуйста, объясните подробнее.

Алгебра 11 класс Логарифмы уравнение логарифмов решение логарифмического уравнения алгебра 11 класс log_x(9x^2) log_3^2(x) математические методы решения подробное объяснение решения логарифмические свойства уравнения с логарифмами примеры решений уравнений Новый

Чтобы решить уравнение log_x(9x^2) * log_3^2(x) = 4, давайте разобьем его на несколько шагов.

Шаг 1: Преобразуем логарифмы.

• Первое, что мы можем сделать, это преобразовать логарифм log_x(9x^2) с использованием свойства логарифмов: log_a(b) = log_c(b) / log_c(a). Здесь мы можем использовать логарифм по основанию 3.
• Таким образом, log_x(9x^2) = log_3(9x^2) / log_3(x).

Шаг 2: Подставим это в уравнение.

Теперь подставим это выражение в наше уравнение:

log_3(9x^2) / log_3(x) * log_3^2(x) = 4.

Шаг 3: Упростим уравнение.

• Мы можем упростить это уравнение: log_3(9x^2) * log_3(x) = 4 * log_3(x).
• Теперь мы можем выразить log_3(9x^2): log_3(9x^2) = log_3(9) + log_3(x^2) = log_3(9) + 2*log_3(x).
• При этом log_3(9) = 2, так как 9 = 3^2. Значит, log_3(9x^2) = 2 + 2*log_3(x).

Шаг 4: Подставим обратно.

Теперь подставим это обратно в уравнение:

(2 + 2*log_3(x)) * log_3(x) = 4 * log_3(x).

Шаг 5: Упростим уравнение.

• Раскроем скобки:
• 2*log_3(x) + 2*log_3^2(x) = 4*log_3(x).
• Переносим все в одну сторону:
• 2*log_3^2(x) - 2*log_3(x) = 0.

Шаг 6: Вынесем общий множитель.

Вынесем 2*log_3(x) за скобки:

2*log_3(x)(log_3(x) - 1) = 0.

Шаг 7: Найдем корни уравнения.

• Это уравнение равно нулю, если либо 2*log_3(x) = 0, либо log_3(x) - 1 = 0.
• Первый случай: 2*log_3(x) = 0 дает log_3(x) = 0, что означает x = 3^0 = 1.
• Второй случай: log_3(x) - 1 = 0 дает log_3(x) = 1, что означает x = 3.

Шаг 8: Проверим, подходят ли найденные значения.

• Если x = 1, то log_1(9*1^2) не определен, так как логарифм по основанию 1 не существует.
• Если x = 3, то log_3(9*3^2) = log_3(81) = 4, и log_3(3) = 1, что подходит.

Ответ: Таким образом, решение уравнения: x = 3 и x = 1/9 (так как 1/9 = 3^(-2), и мы можем использовать это значение в логарифме).