Как можно решить уравнение: sin(2x)/(1 + sin(x)) = -2cos(x)?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические уравнения sin(2x) cos(x) математические методы уравнения с синусом алгебраические задачи

Чтобы решить уравнение sin(2x)/(1 + sin(x)) = -2cos(x), можно выполнить следующие шаги:

1. Использовать тригонометрические тождества, чтобы упростить выражение. Например, sin(2x) = 2sin(x)cos(x).
2. Подставить это в уравнение и привести к общему знаменателю.
3. Перенести все члены в одну сторону уравнения и упростить его.
4. Решить полученное уравнение относительно sin(x) или cos(x).
5. Использовать обратные тригонометрические функции для нахождения x.

Таким образом, уравнение можно решить, применяя тригонометрические тождества и алгебраические методы.

Чтобы решить уравнение sin(2x)/(1 + sin(x)) = -2cos(x), начнем с упрощения левой части уравнения.

1. Вспомним, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Таким образом, мы можем подставить это в уравнение:

• sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

2. Подставим это в уравнение:

2sin(x)cos(x)/(1 + sin(x)) = -2cos(x)

3. Теперь умножим обе стороны уравнения на (1 + sin(x)), чтобы избавиться от дроби. Не забудем, что при этом нужно учитывать, что 1 + sin(x) ≠ 0:

2sin(x)cos(x) = -2cos(x)(1 + sin(x))

4. Раскроем скобки на правой стороне:

2sin(x)cos(x) = -2cos(x) - 2cos(x)sin(x)

5. Переносим все слагаемые на одну сторону уравнения:

2sin(x)cos(x) + 2cos(x) + 2cos(x)sin(x) = 0

6. Объединим подобные слагаемые:

4sin(x)cos(x) + 2cos(x) = 0

7. Вынесем общий множитель 2cos(x):

2cos(x)(2sin(x) + 1) = 0

8. Теперь у нас есть произведение, равное нулю. Это означает, что хотя бы одно из множителей должно быть равно нулю. Рассмотрим оба случая:

• 2cos(x) = 0
• 2sin(x) + 1 = 0

9. Решим первый случай:

• cos(x) = 0
• x = π/2 + kπ, где k - любое целое число.

10. Теперь решим второй случай:

• 2sin(x) + 1 = 0
• sin(x) = -1/2
• x = 7π/6 + 2kπ и 11π/6 + 2kπ, где k - любое целое число.

11. В итоге, все решения уравнения:

• x = π/2 + kπ, где k - любое целое число;
• x = 7π/6 + 2kπ, где k - любое целое число;
• x = 11π/6 + 2kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, мы нашли все решения данного тригонометрического уравнения.