Как можно решить уравнение sin^2x - 3sinxcosx + cos^2x = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс sin^2x cos^2x тригонометрические уравнения математические методы уравнение с синусом и косинусом Новый

Для решения уравнения sin^2x - 3sinxcosx + cos^2x = 0, давайте начнем с того, что мы можем использовать тригонометрические тождества и подстановки.

Шаг 1: Используем тождество

Мы знаем, что sin^2x + cos^2x = 1. Это значит, что мы можем выразить одно из выражений через другое. В данном случае, давайте выразим cos^2x через sin^2x:

• cos^2x = 1 - sin^2x

Теперь подставим это в уравнение:

sin^2x - 3sinx(√(1 - sin^2x)) + (1 - sin^2x) = 0

Сократим подобные члены:

sin^2x + 1 - sin^2x - 3sinx√(1 - sin^2x) = 0

1 - 3sinx√(1 - sin^2x) = 0

Шаг 2: Переносим все в одну сторону

Теперь мы можем выразить корень:

• 3sinx√(1 - sin^2x) = 1

Шаг 3: Изолируем корень

Теперь разделим обе стороны на 3sinx (при условии, что sinx не равно 0):

• √(1 - sin^2x) = 1/(3sinx)

Шаг 4: Квадрат обеих сторон

Чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны в квадрат:

• 1 - sin^2x = 1/(9sin^2x)

Шаг 5: Приводим все к общему знаменателю

Умножим обе стороны на 9sin^2x:

• 9sin^2x(1 - sin^2x) = 1

Раскроем скобки:

• 9sin^2x - 9sin^4x = 1

Переносим все в одну сторону:

• 9sin^4x - 9sin^2x + 1 = 0

Шаг 6: Подстановка

Теперь давайте сделаем подстановку: положим y = sin^2x. Тогда уравнение примет вид:

• 9y^2 - 9y + 1 = 0

Шаг 7: Решаем квадратное уравнение

Теперь мы можем использовать дискриминант для решения этого квадратного уравнения:

• D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 * 9 * 1 = 81 - 36 = 45

Корни уравнения можно найти по формуле:

• y = (9 ± √45) / (2 * 9)

Считаем корни:

• y1 = (9 + √45) / 18
• y2 = (9 - √45) / 18

Шаг 8: Возвращаемся к sin^2x

Теперь, зная y, мы можем найти значения sin^2x и затем sinx:

• sin^2x = y1 или sin^2x = y2

Находим sinx для каждого из значений y, учитывая, что sinx может принимать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от квадранта.

Шаг 9: Находим x

После нахождения значений sinx, мы можем использовать арксинус для нахождения углов x:

• x = arcsin(sinx) + k * π, где k - любое целое число.

Таким образом, мы получаем все решения данного уравнения. Не забудьте проверить, подходят ли найденные значения для первоначального уравнения!