Как можно решить уравнение sin(2x) = cos^4(x/2) - sin^4(x/2)?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс sin(2x) cos^4(x/2) sin^4(x/2) тригонометрические уравнения математические методы Новый

Для решения уравнения sin(2x) = cos^4(x/2) - sin^4(x/2) начнем с упрощения правой части уравнения.

Мы знаем, что cos^4(x/2) - sin^4(x/2) можно представить в виде разности квадратов:

• cos^4(x/2) - sin^4(x/2) = (cos^2(x/2) + sin^2(x/2))(cos^2(x/2) - sin^2(x/2))

Поскольку cos^2(x/2) + sin^2(x/2) = 1, то уравнение упрощается до:

• cos^4(x/2) - sin^4(x/2) = 1 * (cos^2(x/2) - sin^2(x/2)) = cos^2(x/2) - sin^2(x/2)

Теперь подставим это обратно в уравнение:

sin(2x) = cos^2(x/2) - sin^2(x/2)

Также мы знаем, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x) и cos^2(x/2) - sin^2(x/2) = cos(x) (по формуле косинуса двойного угла).

Теперь можем записать уравнение в следующем виде:

2sin(x)cos(x) = cos(x)

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если cos(x) = 0:
• Это происходит, когда x = (2k + 1) * π/2, где k - целое число.
2. Если cos(x) ≠ 0:
• Мы можем разделить обе части уравнения на cos(x):
• 2sin(x) = 1
• Тогда sin(x) = 1/2.
• Это происходит, когда x = π/6 + 2kπ или x = 5π/6 + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, общее решение уравнения будет:

• x = (2k + 1) * π/2 (где k - целое число)
• x = π/6 + 2kπ (где k - целое число)
• x = 5π/6 + 2kπ (где k - целое число)

Это и есть все решения данного уравнения.