Как можно решить уравнение sin^3x + 2sin^2xcosx - 5sinxcos^2x - 6cos^3x = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические уравнения sin cos уравнение метод решения уравнений Новый

Решим уравнение sin^3x + 2sin^2xcosx - 5sinxcos^2x - 6cos^3x = 0 шаг за шагом.

Первым делом, заметим, что у нас есть выражения, содержащие как синус, так и косинус. Чтобы упростить задачу, мы можем воспользоваться заменой переменных. Обозначим sin x = a и cos x = b. Помним, что a^2 + b^2 = 1.

Теперь перепишем уравнение в новых переменных:

a^3 + 2a^2b - 5ab^2 - 6b^3 = 0

Теперь мы можем выразить b через a, используя соотношение b = sqrt(1 - a^2). Однако, чтобы избежать сложных вычислений, мы попробуем факторизовать исходное уравнение.

Для этого попробуем найти корни уравнения. Подставим некоторые значения для sin x и cos x:

• При sin x = 1 (т.е. x = π/2):
• При sin x = 0 (т.е. x = 0 или π):
• При cos x = 1 (т.е. x = 0):

Теперь мы можем проверить, какое значение может удовлетворять уравнению. Подставим sin x = 1:

1^3 + 2*1^2*0 - 5*1*0^2 - 6*0^3 = 1 + 0 - 0 - 0 = 1 (не корень)

Подставим sin x = 0:

0^3 + 2*0^2*1 - 5*0*1^2 - 6*1^3 = 0 + 0 - 0 - 6 = -6 (не корень)

Подставим cos x = 0 (т.е. sin x = 1):

Мы видим, что простым перебором не удается найти корни. Теперь попробуем факторизацию:

Попробуем выделить общие множители. Например, можно выделить sin x:

sin x (sin^2 x + 2sin x cos x - 5cos^2 x) - 6cos^3 x = 0

Теперь у нас есть два множителя:

• sin x = 0 (это дает x = kπ, где k - целое число);
• sin^2 x + 2sin x cos x - 5cos^2 x - 6 = 0.

Теперь рассмотрим второй множитель. Подставим cos x = sqrt(1 - sin^2 x, чтобы решить квадратное уравнение:

Это уравнение можно решить через дискриминант или через формулы корней. Получив корни, мы сможем найти значения sin x и cos x, а затем и x.

Итак, в итоге мы получаем:

1. Решение уравнения sin x = 0 дает x = kπ.
2. Решение второго уравнения требует дополнительных шагов по нахождению корней.

Таким образом, полное решение уравнения включает в себя нахождение всех возможных значений x, удовлетворяющих обоим условиям.