Для решения уравнения sin^3x - sin^2x * cosx - 3sinx * cos^2x + 3cos^3x = 0, давайте начнем с упрощения выражения. Мы можем использовать некоторые тригонометрические тождества и подстановки.

Шаг 1: Подстановка

Обозначим sin(x) = a и cos(x) = b. Тогда у нас есть следующее тождество:

a^2 + b^2 = 1.

Теперь перепишем уравнение в терминах a и b:

a^3 - a^2 * b - 3a * b^2 + 3b^3 = 0.

Шаг 2: Группировка и упрощение

Мы можем сгруппировать некоторые члены, чтобы упростить уравнение:

• a^3 - a^2 * b = a^2(a - b),
• -3a * b^2 + 3b^3 = 3b^2(b - a).

Теперь подставим это в уравнение:

a^2(a - b) + 3b^2(b - a) = 0.

Шаг 3: Факторизация

Теперь мы можем вынести общий множитель:

(a - b)(a^2 - 3b^2) = 0.

Это дает нам два случая:

• 1) a - b = 0,
• 2) a^2 - 3b^2 = 0.

Шаг 4: Решение первого случая

Если a - b = 0, то sin(x) = cos(x). Это означает, что x = π/4 + kπ, где k - целое число.

Шаг 5: Решение второго случая

Теперь рассмотрим второй случай: a^2 - 3b^2 = 0. Подставим a и b:

sin^2(x) = 3cos^2(x).

Используя тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1, подставим sin^2(x):

3cos^2(x) + cos^2(x) = 1.

4cos^2(x) = 1.

Таким образом, cos^2(x) = 1/4, что дает cos(x) = ±1/2.

Теперь найдем x:

• cos(x) = 1/2: x = π/3 + 2kπ или x = 5π/3 + 2kπ,
• cos(x) = -1/2: x = 2π/3 + 2kπ или x = 4π/3 + 2kπ.

Шаг 6: Итоговое решение

Таким образом, обобщая все решения, мы получаем:

• x = π/4 + kπ,
• x = π/3 + 2kπ,
• x = 5π/3 + 2kπ,
• x = 2π/3 + 2kπ,
• x = 4π/3 + 2kπ.

Где k - целое число. Это и есть все решения данного уравнения.