Как можно решить уравнение sin^4x + cos^4x = sin^22x - 1/2?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение алгебра sin^4x cos^4x sin^22x решение уравнения тригонометрические функции математические задачи 11 класс алгебраические уравнения Новый

Давайте решим уравнение sin^4(x) + cos^4(x) = sin^2(2x) - 1/2 шаг за шагом.

1. Начнем с упрощения левой части уравнения. Мы знаем, что sin^4(x) + cos^4(x) можно преобразовать с помощью формулы:

• sin^4(x) + cos^4(x) = (sin^2(x) + cos^2(x))^2 - 2sin^2(x)cos^2(x)
• Поскольку sin^2(x) + cos^2(x) = 1, то:
• sin^4(x) + cos^4(x) = 1 - 2sin^2(x)cos^2(x)

2. Теперь у нас есть:

1 - 2sin^2(x)cos^2(x) = sin^2(2x) - 1/2

3. Мы также знаем, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Следовательно:

• sin^2(2x) = (2sin(x)cos(x))^2 = 4sin^2(x)cos^2(x)

4. Теперь подставим это в уравнение:

1 - 2sin^2(x)cos^2(x) = 4sin^2(x)cos^2(x) - 1/2

5. Упростим уравнение:

• 1 + 1/2 = 4sin^2(x)cos^2(x) + 2sin^2(x)cos^2(x)
• 1.5 = 6sin^2(x)cos^2(x)
• 6sin^2(x)cos^2(x) = 3/2

6. Разделим обе стороны на 6:

sin^2(x)cos^2(x) = 1/4

7. Мы знаем, что sin^2(x)cos^2(x) = 1/4 * sin^2(2x). Таким образом:

1/4 * sin^2(2x) = 1/4

8. Умножим обе стороны на 4:

sin^2(2x) = 1

9. Теперь решим это уравнение:

• sin(2x) = ±1

10. Это дает нам два случая:

• 2x = π/2 + 2kπ, где k - целое число
• или
• 2x = 3π/2 + 2kπ, где k - целое число

11. Теперь решим для x:

• x = π/4 + kπ
• или
• x = 3π/4 + kπ

12. Таким образом, решение уравнения sin^4(x) + cos^4(x) = sin^2(2x) - 1/2 имеет вид:

x = π/4 + kπ и x = 3π/4 + kπ, где k - целое число.