Как можно решить уравнение sin(6x) = 2cos(3π/2 + 2x)?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции sin и cos математические уравнения Новый

Для решения уравнения sin(6x) = 2cos(3π/2 + 2x) начнем с упрощения правой части уравнения.

Мы знаем, что cos(3π/2 + 2x) можно выразить через тригонометрические функции:

• cos(3π/2) = 0
• sin(3π/2) = -1

Таким образом, используя формулу косинуса для суммы углов, получаем:

cos(3π/2 + 2x) = cos(3π/2)cos(2x) - sin(3π/2)sin(2x) = 0 * cos(2x) - (-1) * sin(2x) = sin(2x).

Теперь подставим это в наше уравнение:

sin(6x) = 2 * sin(2x).

Теперь у нас есть уравнение:

sin(6x) - 2sin(2x) = 0.

Это уравнение можно решить, используя формулу синуса:

sin(6x) = 2sin(2x).

Перепишем уравнение в следующем виде:

sin(6x) - 2sin(2x) = 0.

Теперь можно воспользоваться формулой для разности синусов:

sin(6x) = 2sin(2x) означает, что:

sin(6x) - 2sin(2x) = 0.

Перепишем это уравнение как:

sin(6x) - 2sin(2x) = 0.

Теперь мы можем использовать метод замены переменной. Обозначим:

y = sin(2x).

Тогда у нас получится:

sin(6x) = 2y.

Используя формулу для синуса тройного угла, имеем:

sin(6x) = 3sin(2x) - 4sin^3(2x).

Теперь подставим y:

3y - 4y^3 = 2y.

Переносим все в одну сторону:

4y^3 - y = 0.

Факторизуем:

y(4y^2 - 1) = 0.

Теперь мы можем решить это уравнение:

1. y = 0
2. 4y^2 - 1 = 0 => 4y^2 = 1 => y^2 = 1/4 => y = ±1/2

Теперь вернемся к переменной sin(2x):

• sin(2x) = 0 => 2x = nπ, где n - целое число => x = nπ/2
• sin(2x) = 1/2 => 2x = π/6 + 2kπ или 2x = 5π/6 + 2kπ, где k - целое число => x = π/12 + kπ или x = 5π/12 + kπ
• sin(2x) = -1/2 => 2x = 7π/6 + 2kπ или 2x = 11π/6 + 2kπ => x = 7π/12 + kπ или x = 11π/12 + kπ

Таким образом, обобщенное решение уравнения:

x = nπ/2, x = π/12 + kπ, x = 5π/12 + kπ, x = 7π/12 + kπ, x = 11π/12 + kπ, где n и k - целые числа.