Как можно решить уравнение (sin + cos) в квадрате + 1 - sin^2 альфа?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение алгебра синус косинус решение уравнения Тригонометрия квадрат синус альфа математические операции 11 класс Новый

Для решения уравнения (sin(α) + cos(α))² + 1 - sin²(α) = 0, давайте разберем его шаг за шагом.

1. Раскроем скобки:

   Первым делом раскроим квадрат суммы:

   (sin(α) + cos(α))² = sin²(α) + 2sin(α)cos(α) + cos²(α).

   По формуле Пифагора мы знаем, что sin²(α) + cos²(α) = 1. Подставим это в уравнение:

   1 + 2sin(α)cos(α) + 1 - sin²(α) = 0.

2. Упростим уравнение:

   Теперь у нас есть:

   2 + 2sin(α)cos(α) - sin²(α) = 0.

   Преобразуем его, чтобы выделить sin²(α):

   sin²(α) = 2 + 2sin(α)cos(α).

3. Используем формулу двойного угла:

   Мы знаем, что 2sin(α)cos(α) = sin(2α). Подставим это в уравнение:

   sin²(α) = 2 + sin(2α).

4. Переносим все в одну сторону:

   Теперь мы можем записать уравнение в стандартной форме:

   sin²(α) - sin(2α) - 2 = 0.

5. Решаем квадратное уравнение:

   Это уравнение можно решить с помощью замены:

   Пусть x = sin(α). Тогда уравнение примет вид:

   x² - 2sin(α) - 2 = 0.

   Здесь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:

   x = [−b ± √(b² − 4ac)] / 2a, где a = 1, b = -sin(2α), c = -2.

6. Найдем значения:

   Подставим значения:

   x = [sin(2α) ± √(sin²(2α) + 8)] / 2.

   Теперь мы можем найти значения sin(α) и, следовательно, α.

Таким образом, мы пришли к квадратному уравнению, которое можно решить стандартными методами. После нахождения корней мы можем найти углы α, соответствующие этим значениям. Не забудьте проверить, удовлетворяют ли найденные значения исходному уравнению.