Как можно решить уравнение Sin(x) - sin(3x) = sin(4x) - sin(2x)?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс sin(x) sin(3x) sin(4x) sin(2x) тригонометрические уравнения математические методы уравнения с синусом Новый

Чтобы решить уравнение Sin(x) - sin(3x) = sin(4x) - sin(2x), мы начнем с использования тригонометрических идентичностей и преобразований. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Перепишем уравнение:

   Сначала перенесем все слагаемые на одну сторону:

   Sin(x) - sin(3x) - sin(4x) + sin(2x) = 0

2. Используем формулы разности синусов:

   Мы можем использовать формулы для разности синусов:

   • sin(A) - sin(B) = 2 * cos((A + B)/2) * sin((A - B)/2)

   Применим это к парным слагаемым:

   • sin(x) - sin(3x) = 2 * cos((x + 3x)/2) * sin((x - 3x)/2) = 2 * cos(2x) * sin(-x) = -2 * cos(2x) * sin(x)
   • sin(4x) - sin(2x) = 2 * cos((4x + 2x)/2) * sin((4x - 2x)/2) = 2 * cos(3x) * sin(x)
3. Подставим обратно в уравнение:

   Теперь подставим полученные выражения в уравнение:

   -2 * cos(2x) * sin(x) - 2 * cos(3x) * sin(x) = 0

4. Выносим общий множитель:

   Выносим sin(x) за скобки:

   sin(x) * (-2 * cos(2x) - 2 * cos(3x)) = 0

5. Решаем уравнение:

   Теперь у нас есть два множителя:

   • sin(x) = 0
   • -2 * cos(2x) - 2 * cos(3x) = 0
6. Решаем первое уравнение:

   sin(x) = 0 дает:

   x = n * π, где n — целое число.

7. Решаем второе уравнение:

   Сначала упростим его:

   -2(cos(2x) + cos(3x)) = 0

   cos(2x) + cos(3x) = 0.

   Используем формулу для суммы косинусов:

   cos(A) + cos(B) = 2 * cos((A + B)/2) * cos((A - B)/2)

   Тогда:

   2 * cos((2x + 3x)/2) * cos((2x - 3x)/2) = 0

   cos(2.5x) * cos(-0.5x) = 0.

   Это даст два случая:

   • cos(2.5x) = 0
   • cos(0.5x) = 0
8. Находим решения:

   Для cos(2.5x) = 0:

   2.5x = (2k + 1) * π/2, где k — целое число, откуда x = (2k + 1) * π/5.

   Для cos(0.5x) = 0:

   0.5x = (2m + 1) * π/2, где m — целое число, откуда x = (2m + 1) * π.

Таким образом, обобщая, мы получили множество решений для уравнения:

• x = n * π, где n — целое число;
• x = (2k + 1) * π/5, где k — целое число;
• x = (2m + 1) * π, где m — целое число.

Это и есть решение данного уравнения. Если у вас есть вопросы по какому-либо шагу, не стесняйтесь спрашивать!