Как можно решить уравнение: sin2x + 5(sinx + cosx) + 1 = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс sin2x sinx cosX тригонометрические уравнения Новый

Для решения уравнения sin(2x) + 5(sin(x) + cos(x)) + 1 = 0, мы начнем с преобразования уравнения и использования тригонометрических тождеств.

1. **Используем тождество для sin(2x)**:

• Напомним, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

2. **Подставим это в уравнение**:

• Уравнение становится: 2sin(x)cos(x) + 5(sin(x) + cos(x)) + 1 = 0.

3. **Введем замену**:

• Обозначим sin(x) = a и cos(x) = b. При этом a^2 + b^2 = 1.
• Тогда уравнение можно переписать как: 2ab + 5(a + b) + 1 = 0.

4. **Выразим b через a**:

• Из соотношения a^2 + b^2 = 1, мы можем выразить b как: b = sqrt(1 - a^2).
• Подставляем это значение в уравнение: 2a(sqrt(1 - a^2)) + 5(a + sqrt(1 - a^2)) + 1 = 0.

5. **Решаем полученное уравнение**:

• Это уравнение может быть довольно сложным для аналитического решения, поэтому рекомендуется использовать численные методы или графический калькулятор для нахождения корней.

6. **Проверяем корни**:

• После нахождения корней для sin(x), не забудьте проверить, удовлетворяют ли они условию a^2 + b^2 = 1.
• Также не забудьте учесть, что sin(x) может принимать значения в диапазоне от -1 до 1.

7. **Находим значения x**:

• Используя найденные значения sin(x), мы можем найти x, используя обратную функцию: x = arcsin(a) + k*π, где k – целое число (учитывая периодичность синуса).

Таким образом, мы можем решить данное уравнение, используя тригонометрические тождества и подход к решению уравнений с помощью замены переменных.