Как можно решить уравнение sinα + 2sin3α + sin5α = 4sin3α * cos²α?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс sinα sin3α cos2α тригонометрические уравнения Новый

Для решения уравнения sinα + 2sin3α + sin5α = 4sin3α * cos²α, давайте сначала упростим его и рассмотрим, как можно использовать тригонометрические тождества.

Шаг 1: Преобразуем правую часть уравнения.

Обратите внимание, что cos²α можно выразить через sinα с помощью тождества: cos²α = 1 - sin²α. Подставим это в уравнение:

• 4sin3α * cos²α = 4sin3α * (1 - sin²α).

Таким образом, уравнение становится:

sinα + 2sin3α + sin5α = 4sin3α - 4sin3α * sin²α.

Шаг 2: Переносим все члены в одну сторону уравнения.

Теперь перенесем все члены на одну сторону:

• sinα + 2sin3α + sin5α - 4sin3α + 4sin3α * sin²α = 0.

Это можно упростить до:

sinα - 2sin3α + sin5α + 4sin3α * sin²α = 0.

Шаг 3: Используем тригонометрические тождества.

Теперь давайте вспомним, что sin5α можно выразить через sinα и sin3α с помощью тригонометрических тождеств:

• sin5α = 5sinα - 20sin³α + 16sin⁵α.

Подставим это выражение в уравнение:

sinα - 2sin3α + (5sinα - 20sin³α + 16sin⁵α) + 4sin3α * sin²α = 0.

Шаг 4: Упрощаем уравнение.

Теперь упростим уравнение, объединив подобные члены:

• (1 + 5)sinα - 2sin3α + 4sin3α * sin²α - 20sin³α + 16sin⁵α = 0.

Это уравнение можно записать как:

6sinα + (4sin²α - 2)sin3α - 20sin³α + 16sin⁵α = 0.

Шаг 5: Решаем полученное уравнение.

Теперь необходимо решить это уравнение, что может потребовать численных методов или графического анализа. В зависимости от значений α, вы можете использовать численные методы, такие как метод Ньютона, или графический метод для нахождения корней.

Также стоит проверить возможные значения для sinα, например, sinα = 0, sinα = 1 и т.д., чтобы упростить решение.

Шаг 6: Проверка корней.

После нахождения возможных корней, подставьте их обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они удовлетворяют уравнению.

Таким образом, решение уравнения требует применения тригонометрических тождеств и может потребовать численных методов для нахождения корней.