Как можно решить уравнение sinx - cosx = 1 + sinxcosx?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс sinx cosx уравнение sinx - cosx математические методы тригонометрические уравнения Новый

Для решения уравнения sin(x) - cos(x) = 1 + sin(x)cos(x) давайте сначала упростим его. Мы можем перенести все члены на одну сторону уравнения:

• sin(x) - cos(x) - 1 - sin(x)cos(x) = 0

Теперь у нас есть уравнение:

• sin(x) - sin(x)cos(x) - cos(x) - 1 = 0

Теперь давайте попробуем сгруппировать некоторые члены. Мы можем выделить sin(x):

• sin(x)(1 - cos(x)) - cos(x) - 1 = 0

Теперь мы можем выразить cos(x) через sin(x). Из тригонометрической идентичности мы знаем, что cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x)). Однако, для упрощения, давайте рассмотрим случаи, когда cos(x) = 1 или cos(x) = -1, так как это может облегчить решение уравнения.

Рассмотрим два случая:

1. Случай 1: cos(x) = 1. В этом случае sin(x) = 0. Это происходит, когда x = 2kπ, где k - целое число.
2. Случай 2: cos(x) = -1. В этом случае sin(x) = 0. Это происходит, когда x = (2k + 1)π, где k - целое число.

Теперь давайте подставим эти значения обратно в уравнение и проверим, удовлетворяют ли они уравнению:

• Для x = 2kπ: sin(2kπ) - cos(2kπ) = 0 - 1 = -1, а 1 + sin(2kπ)cos(2kπ) = 1 + 0 = 1. Не равны.
• Для x = (2k + 1)π: sin((2k + 1)π) - cos((2k + 1)π) = 0 - (-1) = 1, а 1 + sin((2k + 1)π)cos((2k + 1)π) = 1 + 0 = 1. Равны.

Таким образом, решение уравнения sin(x) - cos(x) = 1 + sin(x)cos(x) будет:

x = (2k + 1)π, где k - целое число.