Как можно решить уравнение: tgx - sinx = 2sin^2(x/2)?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс tgx sinx тригонометрические уравнения sin^2(x/2) методы решения уравнений Новый

Для решения уравнения tgx - sinx = 2sin^2(x/2) начнем с преобразования его левой части.

Напомним, что тангенс можно выразить через синус и косинус:

tgx = sinx / cosx

Подставим это в уравнение:

sinx / cosx - sinx = 2sin^2(x/2)

Теперь вынесем sinx за скобки в левой части:

sinx (1/cosx - 1) = 2sin^2(x/2)

Упрощаем дробь:

1/cosx - 1 = (1 - cosx) / cosx

Теперь у нас получается:

sinx * (1 - cosx) / cosx = 2sin^2(x/2)

Теперь вспомним, что sin^2(x/2) = (1 - cosx) / 2 (это следует из формулы двойного угла для косинуса). Подставим это в уравнение:

sinx * (1 - cosx) / cosx = 2 * (1 - cosx) / 2

Сократим обе части на (1 - cosx), при условии, что cosx ≠ 1 (иначе у нас будет деление на ноль):

sinx / cosx = 1

Таким образом, у нас остается уравнение:

tgx = 1

Решим это уравнение. Тангенс равен единице в точках:

• x = π/4 + kπ, где k – любое целое число.

Теперь рассмотрим случай, когда cosx = 1. Это происходит при:

• x = 2kπ, где k – любое целое число.

Таким образом, полное решение уравнения tgx - sinx = 2sin^2(x/2) будет:

• x = π/4 + kπ, где k – любое целое число;
• x = 2kπ, где k – любое целое число.

Не забудьте проверить каждое решение на исходном уравнении, чтобы убедиться, что они действительно подходят. Это важно, так как при сокращении мы могли потерять некоторые корни.