Как можно решить уравнение: (x-1)^4 - 5(x-1)^2 + 4 = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения с переменной в степени решение уравнения алгебра 11 класс (x-1)^4 (x-1)^2 квадратное уравнение методы решения уравнений математические задачи Новый

Чтобы решить уравнение (x-1)^4 - 5(x-1)^2 + 4 = 0, начнем с упрощения его. Заметим, что у нас есть выражение (x-1)^2, которое мы можем обозначить как новую переменную. Давайте введем замену:

Шаг 1: Введение замены

Пусть:

y = (x-1)^2

Тогда уравнение можно переписать как:

y^2 - 5y + 4 = 0

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его, используя формулу корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

В нашем случае a = 1, b = -5, c = 4. Подставим эти значения в формулу:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9
• Теперь находим корни:
• y1 = (5 + √9) / 2 = (5 + 3) / 2 = 8 / 2 = 4
• y2 = (5 - √9) / 2 = (5 - 3) / 2 = 2 / 2 = 1

Шаг 3: Возвращаемся к переменной x

Теперь у нас есть два значения для y:

• y1 = 4
• y2 = 1

Теперь вернемся к нашей замене:

• Для y1 = 4:
• (x-1)^2 = 4
• x - 1 = ±2
• x = 1 + 2 = 3 или x = 1 - 2 = -1
• Для y2 = 1:
• (x-1)^2 = 1
• x - 1 = ±1
• x = 1 + 1 = 2 или x = 1 - 1 = 0

Шаг 4: Записываем все корни

Таким образом, мы нашли все корни уравнения:

• x1 = 3
• x2 = -1
• x3 = 2
• x4 = 0

Ответ: x = 3, -1, 2, 0.