Чтобы решить уравнение x^4 + x^3 - 8x^2 - 9x - 9 = 0, мы можем воспользоваться методом подбора корней и факторизацией. Давайте рассмотрим шаги решения более подробно.

1. Подбор возможных рациональных корней:

   Согласно теореме о рациональных корнях, мы можем попробовать найти корни среди делителей свободного члена (-9) и старшего коэффициента (1). Делители -9: ±1, ±3, ±9.

2. Проверка корней:

   Мы проверим, являются ли эти числа корнями уравнения, подставляя их в уравнение:

   • Для x = 1:

     1^4 + 1^3 - 8*1^2 - 9*1 - 9 = 1 + 1 - 8 - 9 - 9 = -24 (не корень)

   • Для x = -1:

     (-1)^4 + (-1)^3 - 8*(-1)^2 - 9*(-1) - 9 = 1 - 1 - 8 + 9 - 9 = -8 (не корень)

   • Для x = 3:

     3^4 + 3^3 - 8*3^2 - 9*3 - 9 = 81 + 27 - 72 - 27 - 9 = 0 (корень)

   • Для x = -3:

     (-3)^4 + (-3)^3 - 8*(-3)^2 - 9*(-3) - 9 = 81 - 27 - 72 + 27 - 9 = 0 (корень)

   • Для x = 9:

     9^4 + 9^3 - 8*9^2 - 9*9 - 9 = 6561 + 729 - 648 - 81 - 9 = 6552 (не корень)

   • Для x = -9:

     (-9)^4 + (-9)^3 - 8*(-9)^2 - 9*(-9) - 9 = 6561 - 729 - 648 + 81 - 9 = 6256 (не корень)

3. Факторизация уравнения:

   Мы нашли два корня: x = 3 и x = -3. Теперь мы можем разложить многочлен на множители:

   Используем корни для разложения:

   (x - 3)(x + 3) = x^2 - 9

   Теперь мы можем использовать деление многочлена для нахождения оставшейся части:

   x^4 + x^3 - 8x^2 - 9x - 9 = (x^2 - 9)(Ax^2 + Bx + C)

   После деления мы получим оставшуюся часть, которую также нужно будет решить.

4. Решение квадратного уравнения:

   После нахождения оставшейся части уравнения, мы можем решить квадратное уравнение с помощью дискриминанта или формулы корней.

Таким образом, мы можем найти все корни уравнения. Не забудьте проверить все найденные корни, подставив их обратно в исходное уравнение!