Как можно составить уравнение касательной к графику функции y=e^(2x-1)-cos(2πx)-1 в точке x0=1/2?

Алгебра 11 класс Уравнения касательных Уравнение касательной график функции y=e^(2x-1)-cos(2πx)-1 точка x0=1/2 алгебра 11 класс производная функции касательная к графику нахождение уравнения касательной Новый

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции y = e^(2x-1) - cos(2πx) - 1 в точке x0 = 1/2, необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдите значение функции в точке x0.

Сначала мы подставим x0 = 1/2 в функцию:

• y(1/2) = e^(2*(1/2)-1) - cos(2π*(1/2)) - 1
• y(1/2) = e^(0) - cos(π) - 1
• y(1/2) = 1 - (-1) - 1
• y(1/2) = 1 + 1 - 1 = 1

Таким образом, значение функции в точке x0 = 1/2 равно 1.

Шаг 2: Найдите производную функции.

Теперь нам нужно найти производную функции y, чтобы определить наклон касательной. Используем правило дифференцирования:

• y' = d/dx [e^(2x-1)] - d/dx [cos(2πx)] - d/dx [1]
• y' = 2e^(2x-1) + 2πsin(2πx)

Шаг 3: Подставьте x0 в производную, чтобы найти угол наклона касательной.

Теперь подставим x0 = 1/2 в производную:

• y'(1/2) = 2e^(2*(1/2)-1) + 2πsin(2π*(1/2))
• y'(1/2) = 2e^(0) + 2πsin(π)
• y'(1/2) = 2 + 0 = 2

Наклон касательной в точке x0 = 1/2 равен 2.

Шаг 4: Составьте уравнение касательной.

Уравнение касательной можно записать в виде:

y - y0 = m(x - x0),

где m - наклон касательной, (x0, y0) - точка касания.

Подставим известные значения:

• m = 2,
• x0 = 1/2,
• y0 = 1.

Уравнение касательной будет:

• y - 1 = 2(x - 1/2).

Упрощая, получаем:

• y - 1 = 2x - 1
• y = 2x.

Ответ: Уравнение касательной к графику функции в точке x0 = 1/2: y = 2x.