Как составить уравнение касательной y=ctgx при x=п/6? Заранее спасибо!

Алгебра 11 класс Уравнения касательных Уравнение касательной y=ctgx x=п/6 алгебра математика производная касательная к графику Новый

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции y = ctg(x) в точке x = π/6, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Найти значение функции в данной точке:

   Сначала мы должны найти значение функции y = ctg(x) при x = π/6. Котангенс определяется как отношение косинуса к синусу:

   ctg(x) = cos(x) / sin(x)

   Теперь подставим x = π/6:

   ctg(π/6) = cos(π/6) / sin(π/6)

   Значения косинуса и синуса для π/6 известны:

   • cos(π/6) = √3/2
   • sin(π/6) = 1/2

   Теперь подставим эти значения:

   ctg(π/6) = (√3/2) / (1/2) = √3

2. Найти производную функции:

   Следующим шагом мы должны найти производную функции y = ctg(x). Производная котангенса равна:

   y' = -csc²(x)

   Теперь подставим x = π/6 в производную:

   y'(π/6) = -csc²(π/6)

   Значение cosecant (csc) определяется как обратное значение синуса:

   csc(π/6) = 1/sin(π/6) = 1/(1/2) = 2

   Теперь найдем csc²(π/6):

   csc²(π/6) = 2² = 4

   Таким образом, производная в точке x = π/6:

   y'(π/6) = -4

3. Составить уравнение касательной:

   Теперь у нас есть точка касания (π/6, √3) и наклон касательной (-4). Уравнение касательной можно записать в форме:

   y - y₀ = m(x - x₀)

   где (x₀, y₀) - точка касания, а m - наклон. Подставим наши значения:

   y - √3 = -4(x - π/6)

   Теперь упростим это уравнение:

   y - √3 = -4x + (4π/6)

   y = -4x + (2π/3) + √3

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = ctg(x) в точке x = π/6 будет:

y = -4x + (2π/3) + √3