Как можно упростить следующее выражение: (1 - cos a)(1 + cos a) - ctg²a?

Алгебра 11 класс Упрощение тригонометрических выражений Упрощение выражения алгебра 11 класс тригонометрические функции ctg2a cos a математические выражения Новый

Чтобы упростить выражение (1 - cos a)(1 + cos a) - ctg²a, давайте разберем его по шагам.

Шаг 1: Упрощение первого множителя

Первую часть выражения, (1 - cos a)(1 + cos a), можно упростить с помощью формулы разности квадратов:

• (1 - cos a)(1 + cos a) = 1² - (cos a)² = 1 - cos² a.

Шаг 2: Применение тригонометрической идентичности

Теперь мы знаем, что 1 - cos² a = sin² a по тригонометрической идентичности:

• 1 - cos² a = sin² a.

Шаг 3: Упрощение второй части выражения

Теперь давайте посмотрим на вторую часть выражения, ctg²a. Напомним, что ctg a = cos a / sin a, следовательно:

• ctg²a = (cos a / sin a)² = cos² a / sin² a.

Шаг 4: Подстановка в исходное выражение

Теперь подставим наши результаты обратно в исходное выражение:

• (1 - cos a)(1 + cos a) - ctg²a = sin² a - (cos² a / sin² a).

Шаг 5: Приведение к общему знаменателю

Чтобы вычесть дробь, нужно привести к общему знаменателю. Общий знаменатель будет sin² a:

• sin² a - (cos² a / sin² a) = (sin² a * sin² a - cos² a) / sin² a = (sin^4 a - cos² a) / sin² a.

Шаг 6: Заключительный ответ

Таким образом, упрощенное выражение будет:

• (sin^4 a - cos² a) / sin² a.

Это и есть окончательный результат упрощения выражения (1 - cos a)(1 + cos a) - ctg²a.